Massimizzare una funzione di una variabile
Buongiorno a tutti.
Ho un problema che riguarda la massimizzazione del volume di un parallelepipedo, espresso come
$V(x)=4x^3-4x^2+x$
funzione di x, dove la x è tale da rendere massima la capacità del contenitore.
Il problema mi chiede di trovare quanto vale V fino alla cifra dei ml.
Io ho fatto la derivata della funzione ponendola uguale a 0, e ho trovato x=$1/6$.
Ho sostituito questo valore nella V(x) trovando così il volume.
La mia domanda è, ponendo la derivata uguale a 0, trovo il punto in cui la retta tangente al grafico è orizzontale, ma come faccio a sapere che quel x=$1/6$ è quello che rende massimo il volume e non per esempio che lo rende minimo?
Grazie per la disponibilità
Ho un problema che riguarda la massimizzazione del volume di un parallelepipedo, espresso come
$V(x)=4x^3-4x^2+x$
funzione di x, dove la x è tale da rendere massima la capacità del contenitore.
Il problema mi chiede di trovare quanto vale V fino alla cifra dei ml.
Io ho fatto la derivata della funzione ponendola uguale a 0, e ho trovato x=$1/6$.
Ho sostituito questo valore nella V(x) trovando così il volume.
La mia domanda è, ponendo la derivata uguale a 0, trovo il punto in cui la retta tangente al grafico è orizzontale, ma come faccio a sapere che quel x=$1/6$ è quello che rende massimo il volume e non per esempio che lo rende minimo?
Grazie per la disponibilità
Risposte
Mi pare di capire che stai cercando il massimo globale. Intanto, devi avere delle limitazioni sulla $x$, altrimenti non esiste massimo globale, perché questa funzione è illimitata su $\mathbb{R}$. Infatti, $lim_{x \to \pm \infty} V(x) = \pm \infty$.
Per quanto riguarda la seconda domanda: la ricerca di massimi (o minimi) locali va fatta tra i punti stazionari, con tecniche che dovresti conoscere. In generale si studiano gli intervalli di monotonia della funzione o, se la funzione è sufficientemente regolare, si usa il metodo le derivate successive.
In questo caso hai due punti stazionari e, se ho fatto bene i calcoli, sono $1/6$ e $1/2$.
Per quanto riguarda la seconda domanda: la ricerca di massimi (o minimi) locali va fatta tra i punti stazionari, con tecniche che dovresti conoscere. In generale si studiano gli intervalli di monotonia della funzione o, se la funzione è sufficientemente regolare, si usa il metodo le derivate successive.
In questo caso hai due punti stazionari e, se ho fatto bene i calcoli, sono $1/6$ e $1/2$.
Sì ho sbagliato io infatti, i risultati sono $1/6$ e $1/2$...
il testo non mi dà però delle limitazioni sulla x...Scrivo per intero il testo del problema in modo che sia più chiaro di quanto abbia scritto io:
da una lamina metallica quadrata di lato 1 metro, vengono tolti quattro quadrati identici agli angoli del quadrato.
I quattro rettangoli r che si sono ottenuti, vengono poi ripiegati di 90 gradi per ottenere un contenitore a forma di parallelepipedo di capacità V.
La lunghezza x del lato dei quattro quadrati che sono stati tagliati è tale da rendere massima la capacità del contenitore.
Quanto vale V, fino alla cifra dei ml?
Quindi ho che il lato del quadrato di base del contenitore è r=1-2x.
Ho trovato che $V=((1-2x)^2)x$ (area di base per l'altezza del contenitore), arrivando a
$V=4x^3-4x^2+x$
derivo ponendo uguale a 0 e trovo le due soluzioni della x.
Nella soluzione dell'esercizio prende come soluzione $1/6$, ma non ho capito perchè...Come non mi è ben chiaro il fatto di trovare la soluzione con la derivata, dato che porre la derivata uguale a zero è condizione necessaria ma non sufficiente per avere un massimo...
grazie di nuovo
il testo non mi dà però delle limitazioni sulla x...Scrivo per intero il testo del problema in modo che sia più chiaro di quanto abbia scritto io:
da una lamina metallica quadrata di lato 1 metro, vengono tolti quattro quadrati identici agli angoli del quadrato.
I quattro rettangoli r che si sono ottenuti, vengono poi ripiegati di 90 gradi per ottenere un contenitore a forma di parallelepipedo di capacità V.
La lunghezza x del lato dei quattro quadrati che sono stati tagliati è tale da rendere massima la capacità del contenitore.
Quanto vale V, fino alla cifra dei ml?
Quindi ho che il lato del quadrato di base del contenitore è r=1-2x.
Ho trovato che $V=((1-2x)^2)x$ (area di base per l'altezza del contenitore), arrivando a
$V=4x^3-4x^2+x$
derivo ponendo uguale a 0 e trovo le due soluzioni della x.
Nella soluzione dell'esercizio prende come soluzione $1/6$, ma non ho capito perchè...Come non mi è ben chiaro il fatto di trovare la soluzione con la derivata, dato che porre la derivata uguale a zero è condizione necessaria ma non sufficiente per avere un massimo...
grazie di nuovo
Vedo che hai un bel po' di confusione 
Dove stai studiando?
Innanzitutto, devi chiarirti la differenza tra massimo globale e locale.
Per quanto riguarda la ricerca dei massimi/minimi locali, è una procedura standard: si trovano i punti stazionari e poi si studia la loro natura (massimo locale, minimo locale o flesso) tramite gli intervalli di monotonia o le derivate successive. Non hai mai fatto un esercizio del genere?
Si pone la derivata $=0$ proprio perché, come dici tu, è una condizione necessaria all'essere massimo/minimo locale. Quindi, tanto vale restringere il campo e cercare massimi/minimi tra i punti che rispettano tale proprietà (perché gli altri non possono esserlo).
Le limitazioni in questo esercizio sono implicite: $x$ è una lunghezza, quindi dev'essere positiva. Inoltre $x < 1/2$. Perché? Prova a pensare che succede quando tenti di staccare quadrati con lato di lunghezza maggiore.
Dove stai studiando?Innanzitutto, devi chiarirti la differenza tra massimo globale e locale.
Per quanto riguarda la ricerca dei massimi/minimi locali, è una procedura standard: si trovano i punti stazionari e poi si studia la loro natura (massimo locale, minimo locale o flesso) tramite gli intervalli di monotonia o le derivate successive. Non hai mai fatto un esercizio del genere?
Si pone la derivata $=0$ proprio perché, come dici tu, è una condizione necessaria all'essere massimo/minimo locale. Quindi, tanto vale restringere il campo e cercare massimi/minimi tra i punti che rispettano tale proprietà (perché gli altri non possono esserlo).
Le limitazioni in questo esercizio sono implicite: $x$ è una lunghezza, quindi dev'essere positiva. Inoltre $x < 1/2$. Perché? Prova a pensare che succede quando tenti di staccare quadrati con lato di lunghezza maggiore.
giusto...se x è maggiore di 1/2 il pezzo che si dovrebbe tagliare sarebbe maggiore della lunghezza del lato di 1 metro
Esatto. Quindi si tratta di trovare il massimo in $(0,1/2)$ (o, se vuoi, $[0,1/2]$, gli estremi sono casi limite in cui $V=0$)
Ok ci sono arrivata ora 
avendo trovato i due punti critici $1/2$ e $1/6$, ho calcolato la derivata seconda in questi due punti, che per x=$1/6$ è negativa, quindi ho un massimo, mentre per x=$1/2$ è positiva, quindi ho un minimo relativo. A questo punto prendo x=$1/6$ dato che in quel punto la funzione assume il valore massimo.
Grazie per le dritte
avendo trovato i due punti critici $1/2$ e $1/6$, ho calcolato la derivata seconda in questi due punti, che per x=$1/6$ è negativa, quindi ho un massimo, mentre per x=$1/2$ è positiva, quindi ho un minimo relativo. A questo punto prendo x=$1/6$ dato che in quel punto la funzione assume il valore massimo.
Grazie per le dritte
Di nulla 
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