Massimizzare distanza punti Vs asse
Buonasera. Sono autodidatta e sono incappato in un esercizio che non so proprio come risolvere. Spero nel vostro aiuto (anche un suggerimento su dove cercare). Eccolo:
Determinare il punto P dell'asse Y tale che la differenza delle sue distanze dai punti M (-3, 2) ed N (2, 5) sia massima.
Sono in grado di trovare la distanza (perpendicolarita') tra punto e retta, ma non e'questo il caso, credo. E comunque avrei difficolta' con la retta che corrisponde ad uno degli assi. Grazie del vostro suggerimento o aiuto. Buona estate.
Determinare il punto P dell'asse Y tale che la differenza delle sue distanze dai punti M (-3, 2) ed N (2, 5) sia massima.
Sono in grado di trovare la distanza (perpendicolarita') tra punto e retta, ma non e'questo il caso, credo. E comunque avrei difficolta' con la retta che corrisponde ad uno degli assi. Grazie del vostro suggerimento o aiuto. Buona estate.
Risposte
Prima di tutto cancella l'altro messaggio (doppio e nella sezione sbagliata) ... poi, scrivi le espressioni delle due distanze $\bar(PM)$ e $\bar(PN)$, fai la differenza tra le due, derivi e cerca i punti in cui la derivata è nulla, l'eventuale massimo è lì ... (puoi anche evitare le radici quadrate, in tal caso verifica anche i minimi)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio per la risposta cosi' veloce! Vorrei chiederti,se non sono troppo invadente, se per caso c'e' un altro modo di arrivarci senza derivare, solo perche' non so se il testo su cui era scritto il problema e' del livello superiore (ma posso sbagliarmi). Ad ogni modo saprei forse cavarmela anche con la derivata. Grazie di nuovo.
Molto probabile che esistano altre strade (per esempio geometriche) ma non saprei che dirti ...
alex sei sicuro si possa non passare dalle radici quadrate?
considerando $d_1=sqrt(4+(y-5)^2)$ e $d_2=sqrt(9+(y-2)^2)$
la funzione che utilizzo sarebbe $f(y)=|sqrt(4+(y-5)^2)-sqrt(9+(y-2)^2)|$
tu dicevi di utilizzare i quadrati delle differenze? Graficandole su un qualunque programma di grafica, perdo il massimo considerando i quadrati.
considerando $d_1=sqrt(4+(y-5)^2)$ e $d_2=sqrt(9+(y-2)^2)$
la funzione che utilizzo sarebbe $f(y)=|sqrt(4+(y-5)^2)-sqrt(9+(y-2)^2)|$
tu dicevi di utilizzare i quadrati delle differenze? Graficandole su un qualunque programma di grafica, perdo il massimo considerando i quadrati.
Purtroppo le radici dobbiamo tenerle ... 
Massimizzare la funzione senza derivate non è difficile.
Preso un generico punto $P$ dell'asse delle ordinate, considera il simmetrico di $M$ rispetto a $x=0$, che ha coordinate $M_1(3;2)$. Chiaramente l'asse delle ordinate è equidistante da entrambi i punti, quindi l'esercizio si riduce a massimizzare la differenza delle distanze dai punti $N$ e $M_1$. Considera ora il generico triangolo $PNM_1$.
Dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che un lato è sempre maggiore della differenza tra gli altri due, quindi $NM_1>|PN-PM_1|$, allora la lunghezza del segmento $NM_1$ è un limite superiore della funzione. Il valore dell'incognita per cui la funzione è massima è l'intersezione tra l'asse delle $y$ e la retta $NM_1$ (i tre punti sono allineati e il triangolo è degenere)
Preso un generico punto $P$ dell'asse delle ordinate, considera il simmetrico di $M$ rispetto a $x=0$, che ha coordinate $M_1(3;2)$. Chiaramente l'asse delle ordinate è equidistante da entrambi i punti, quindi l'esercizio si riduce a massimizzare la differenza delle distanze dai punti $N$ e $M_1$. Considera ora il generico triangolo $PNM_1$.
Dalla disuguaglianza triangolare sappiamo che un lato è sempre maggiore della differenza tra gli altri due, quindi $NM_1>|PN-PM_1|$, allora la lunghezza del segmento $NM_1$ è un limite superiore della funzione. Il valore dell'incognita per cui la funzione è massima è l'intersezione tra l'asse delle $y$ e la retta $NM_1$ (i tre punti sono allineati e il triangolo è degenere)
Grazie anche a te di questo suggerimento che ora cerchero'di eseguire: ci mettero'un bel po' perche' non sono proprio molto brillante in Math ma solo una grande appassionata. Mi rifaccio viva appena avro' risolto. Un grande saluto.
Ciao, ho intanto disegnato le tue istruzioni e compreso la tecnica. Ora mi studiero' tutta la logica sottesa e l'applicazione ad altre situazioni. Se non sbaglio il punto cercato che Massimizza lo posso trovare mediante la determinazione della retta che contiene il lato NM1 e la sua intersezione con l'asse Y. Ancora grazie. E buona giornata!
Come volevasi dimostrare non sono particolarmente brillante, ma finalmente ho compreso la logica (il triangolo e' costruito con due lati che rappresentano le distanze del tema,quindi ... etc). Ancora ciao e grazie. Avrei un altro quesito e dopo che mi saro'scervellata ancora un poco apriro' un altro argomento. Ciao
Vorrei ritornare sull'argomento sperando di non risultare troppo noiosa.
Ho cercato una logica analoga al precedente esercizio con un altro il cui quesito era di MINIMIZZARE LA SOMMA . I punti sono M (1 , 2) e M (3 , 4) e il risultato - stavolta suggerito - è il punto (5/3 , 0) che è l'intersezione con X della retta dal punto M al punto N1 che è simmetrico ad M. Non riesco a trovare la logica sottesa e inoltre non riesco a capire come mai il risultato non è la media tra i punti proiettati su X dei punti N M cioè (2 ,0) . Grazie ancora e buona notte.
Ho cercato una logica analoga al precedente esercizio con un altro il cui quesito era di MINIMIZZARE LA SOMMA . I punti sono M (1 , 2) e M (3 , 4) e il risultato - stavolta suggerito - è il punto (5/3 , 0) che è l'intersezione con X della retta dal punto M al punto N1 che è simmetrico ad M. Non riesco a trovare la logica sottesa e inoltre non riesco a capire come mai il risultato non è la media tra i punti proiettati su X dei punti N M cioè (2 ,0) . Grazie ancora e buona notte.
A me viene $5/2$, magari mi sbaglio. Può essere?
Direi di no, lo scrive il libro ma ho anche fatto delle prove e dei conteggi e il numero mi sembra proprio quello.
Devo fare invece un errata corrige; quando parlo del simmetrico va letto "il simmetrico di N e non di M. Buona notte. Ciao.
Devo fare invece un errata corrige; quando parlo del simmetrico va letto "il simmetrico di N e non di M. Buona notte. Ciao.
Per scrupolo ho controllato su un calcolatore
Quindi a meno di incomprensioni
Quindi a meno di incomprensioni
Anche questa volta considereremo il simmetrico rispetto alla retta $x=0$ di uno dei due punti, diciamo $M(1,2)$, ma la scelta è indifferente. Dobbiamo minimizzare la somma $PM'+PN$, dove $P$ è il generico punto dell'asse $y$. Allora se noti, la somma delle due distanze visualizzata sul grafico è una spezzata che unisce i due punti, gli estremi dati dal problema, e il punto $P$. Anche in questo caso il minimo della spezzata si ha quando i tre punto sono allineati e $P$ si trova sul segmento $M'N$ ed è uguale alla lunghezza effettiva del segmento $M'N$ (che ricordiamo stanno in due semipiani opposti rispetto alla retta di riferimento del problema). Alternativamente ricorrevamo un'altra volta a un argomento di disuguaglianza triangolare riferito al triangolo $PMN'$. Il lato $MN'$ è sempre minore o uguale alla somma delle distanze e quindi, letto al contrario, il segmento $MN'$ rappresenta un limite inferiore della funzione da minimizzare
Ciao, ho capito! Grazie ancora e buona serata.
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