Massimi minimi relativi, tutto quello che si può dire!
Domandaa: sono abbastanza "esaustive" queste conoscenze su quest'argomento?
E le dimostrazioni sono corrette?
Massimi minimi relativi nel caso di più variabili:
Sia $f$ definita in aperto $A$ e $barx in A$, si dice che $barx$ è un punto di minimo o massimo relativo se esiste un intorno sferico $S$ ci centro $barx$ e raggio $r$ tale che:
$f(barx)<=f(x)$ v $ f(x)<=f(barx) AAx in S_{barx,r}$ edit
In analogia con quanto osservato nel caso delle funzioni di una variabile prova che:
Condizione necessaria del primo ordine
Se $barx$ è un punto di minimo o massimo relativo per una funzione $f$ di classe $C^1$ si ha che $nablaf(barx)=0$ (l'insieme di definizione si deve sempre supporre aperto?
)
Dimostrazione:
sia $barx$ punto di minimo per f
Sia $F(t)=f(barx+tv)$ una funzione della sola variabile $t$ ovvero ovvero la restrizione di $f$ alla retta per $barx$ parallela al versore $v=v_i$ , che ha un minimo per $t = 0$
Allora è $F'(0)=0$, dalla regola di derivazione per funzioni composte si ha:
$F'(0)=\sum_{i=1}^Nf_{x_i}(barx)v_i=0$ e l'asserto è provato per l'arbitrarietà di $v$
Questa ovviamente solo una condizione necessaria. In generale un punto in cui sussista prende il nome di punto critico per f (può anche non essere nè di massimo o nè di minimo relativo per $f$).
Quindi occorre descrivere in modo più preciso il comportamento della funzione in un intorno del punto critico, risulta allora utile ricorrere alla formula di Taylor, approssimando localmente la funzione in un intorno del punto critico con un polinomio.
PREMESSA:
Condizione necessaria del secondo ordine
Se $finC^2(I)$ con $I$ intorno di $barx$, punto di minimo (o di massimo) relativo interno ad A. Allora la matrice hessiana di f nel punto $barx$ è semidefinita positiva.
Dimostrazione:
$F(t)=f(barx+tv)$ per $t=0$ ha un punto di minimo relativo.
Se esiste allora la derivata seconda verifica la condizione $F"(0)>=0$
Ma $F"(barx)=\sum_{i,j=1}^Nf_{x_i,x_j}(barx+tv_i)v_iv_j $
$F"(0)=\sum_{i,j=1}^Nf_{x_i,x_j}(barx)v_iv_j >=0$
Condizione sufficiente
Se $finC^2A$ con $A$ aperto, allora se e sia $(barx,bary)inA$ un punto in cui il differenziale è nullo e in più tale che:
$f_{x,x}(barx,bary)>0(<0)$ e $H(barx,bary)>0$
Allora il punto $(barx, bary)$ è un punto di minimo (massimo) relativo per $f$
Dimostrazione
Applichiamo la formula di Taylor di centro $(barx,bary)$ alla funzione f
(1)$f(barx+h,bary+k)-f(barx,bary) =$
$f_x(barx,bary)h+f_y(barx,bary)k+1/2[f_{x,x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2$
$+f_{yy}(barx+thetah,bary+thetak)k^2+2f_{xy}(barx+thetah,bary+thetak)hk]$
dove $θ$ denota un valore compreso tra zero e uno.
Poichè $(barx,bary)$ è un punto di minimo il differenziale nel punto è nullo quindi la (1) diventa:
(2)$f(barx+h,bary+k)-f(barx,bary) =$
$1/2[f_{x,x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2+f_{yy}(barx+thetah,bary+thetak)k^2+2f_{xy}(barx+thetah,bary+thetak)hk]$
Quindi lo studio dell'intorno del punto, quindi dell'incremento della funzione (1), si riduce allo studio del polinomio:
$1/2[f_{x,x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2+f_{yy}(barx+thetah,bary+thetak)k^2+2f_{xy}(barx+thetah,bary+thetak)hk]$
Tenendo presente che le derivate seconde di f sono continue, se $h, k$ sono sufficientemente piccoli, si ha in un opportuno intorno di $(barx,bary)$ , per il teorema della permanenza del segno, se vale $H(barx,bary)>0$ anche $H(x,y)>0$, quindi il polinomio ha discriminante negativo.
Alla stessa maniera, sempre per lo stesso teorema sulla permanenza del segno, se vale $f_{x,x} (barx,bary)>0$ vale anche $f_{x,x}(x, y)>0$ con $(x,y)$ nell'intorno del punto .
ALlora la quantità (2)risulta sempre positiva e $(barx,bary)$ è punto di minimo per $f$
In particolare se $H(barx,bary)<0$ la quantità (2) nel punto $(barx ,bary)$ non può essere un punto di minimo o un punto di massimo. Infatti è` possibile determinare delle direzioni in corrispondenza delle quali la derivata seconda è positiva ed altre direzioni in corrispondenza delle quali essa risulta negativa. Ciò vuol dire che la restrizione della
funzione f alle rette passanti per il punto critico e aventi tali direzioni presentano nel punto $(barx,bary)$ o un punto di minimo o un punto di massimo relativo.
Pertanto non è possibile individuare un intorno del punto critico in cui la funzione assuma valori maggiori o minori del valore assunto nel punto $(barx,bary)$. In tal caso si dice il punto critico è un punto sella.
E le dimostrazioni sono corrette?
Massimi minimi relativi nel caso di più variabili:
Sia $f$ definita in aperto $A$ e $barx in A$, si dice che $barx$ è un punto di minimo o massimo relativo se esiste un intorno sferico $S$ ci centro $barx$ e raggio $r$ tale che:
$f(barx)<=f(x)$ v $ f(x)<=f(barx) AAx in S_{barx,r}$ edit
In analogia con quanto osservato nel caso delle funzioni di una variabile prova che:
Condizione necessaria del primo ordine
Se $barx$ è un punto di minimo o massimo relativo per una funzione $f$ di classe $C^1$ si ha che $nablaf(barx)=0$ (l'insieme di definizione si deve sempre supporre aperto?
)Dimostrazione:
sia $barx$ punto di minimo per f
Sia $F(t)=f(barx+tv)$ una funzione della sola variabile $t$ ovvero ovvero la restrizione di $f$ alla retta per $barx$ parallela al versore $v=v_i$ , che ha un minimo per $t = 0$
Allora è $F'(0)=0$, dalla regola di derivazione per funzioni composte si ha:
$F'(0)=\sum_{i=1}^Nf_{x_i}(barx)v_i=0$ e l'asserto è provato per l'arbitrarietà di $v$
Questa ovviamente solo una condizione necessaria. In generale un punto in cui sussista prende il nome di punto critico per f (può anche non essere nè di massimo o nè di minimo relativo per $f$).
Quindi occorre descrivere in modo più preciso il comportamento della funzione in un intorno del punto critico, risulta allora utile ricorrere alla formula di Taylor, approssimando localmente la funzione in un intorno del punto critico con un polinomio.
PREMESSA:
Condizione necessaria del secondo ordine
Se $finC^2(I)$ con $I$ intorno di $barx$, punto di minimo (o di massimo) relativo interno ad A. Allora la matrice hessiana di f nel punto $barx$ è semidefinita positiva.
Dimostrazione:
$F(t)=f(barx+tv)$ per $t=0$ ha un punto di minimo relativo.
Se esiste allora la derivata seconda verifica la condizione $F"(0)>=0$
Ma $F"(barx)=\sum_{i,j=1}^Nf_{x_i,x_j}(barx+tv_i)v_iv_j $
$F"(0)=\sum_{i,j=1}^Nf_{x_i,x_j}(barx)v_iv_j >=0$
Condizione sufficiente
Se $finC^2A$ con $A$ aperto, allora se e sia $(barx,bary)inA$ un punto in cui il differenziale è nullo e in più tale che:
$f_{x,x}(barx,bary)>0(<0)$ e $H(barx,bary)>0$
Allora il punto $(barx, bary)$ è un punto di minimo (massimo) relativo per $f$
Dimostrazione
Applichiamo la formula di Taylor di centro $(barx,bary)$ alla funzione f
(1)$f(barx+h,bary+k)-f(barx,bary) =$
$f_x(barx,bary)h+f_y(barx,bary)k+1/2[f_{x,x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2$
$+f_{yy}(barx+thetah,bary+thetak)k^2+2f_{xy}(barx+thetah,bary+thetak)hk]$
dove $θ$ denota un valore compreso tra zero e uno.
Poichè $(barx,bary)$ è un punto di minimo il differenziale nel punto è nullo quindi la (1) diventa:
(2)$f(barx+h,bary+k)-f(barx,bary) =$
$1/2[f_{x,x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2+f_{yy}(barx+thetah,bary+thetak)k^2+2f_{xy}(barx+thetah,bary+thetak)hk]$
Quindi lo studio dell'intorno del punto, quindi dell'incremento della funzione (1), si riduce allo studio del polinomio:
$1/2[f_{x,x}(barx+thetah,bary+thetak)h^2+f_{yy}(barx+thetah,bary+thetak)k^2+2f_{xy}(barx+thetah,bary+thetak)hk]$
Tenendo presente che le derivate seconde di f sono continue, se $h, k$ sono sufficientemente piccoli, si ha in un opportuno intorno di $(barx,bary)$ , per il teorema della permanenza del segno, se vale $H(barx,bary)>0$ anche $H(x,y)>0$, quindi il polinomio ha discriminante negativo.
Alla stessa maniera, sempre per lo stesso teorema sulla permanenza del segno, se vale $f_{x,x} (barx,bary)>0$ vale anche $f_{x,x}(x, y)>0$ con $(x,y)$ nell'intorno del punto .
ALlora la quantità (2)risulta sempre positiva e $(barx,bary)$ è punto di minimo per $f$
In particolare se $H(barx,bary)<0$ la quantità (2) nel punto $(barx ,bary)$ non può essere un punto di minimo o un punto di massimo. Infatti è` possibile determinare delle direzioni in corrispondenza delle quali la derivata seconda è positiva ed altre direzioni in corrispondenza delle quali essa risulta negativa. Ciò vuol dire che la restrizione della
funzione f alle rette passanti per il punto critico e aventi tali direzioni presentano nel punto $(barx,bary)$ o un punto di minimo o un punto di massimo relativo.
Pertanto non è possibile individuare un intorno del punto critico in cui la funzione assuma valori maggiori o minori del valore assunto nel punto $(barx,bary)$. In tal caso si dice il punto critico è un punto sella.
Risposte
Già la definizione è sbagliata.
Grazie della celere risposta 
Ho controllato effettivamente ci vogliono $<=$ e $>=$ , è questo l'errore di cui parli?
Ho controllato effettivamente ci vogliono $<=$ e $>=$ , è questo l'errore di cui parli?
E sì... Senza l'uguale la definizione sarebbe "vuota" (cioè non definirebbe nulla).
Perchè?
Per il resto, nelle ipotesi dei teoremi o scrivi esplicitamente che l'insieme di definizione di \(f\) è aperto, oppure specifichi che il punto di estremo è un punto interno all'insieme di definizione.
Perchè?
P.S.: Fusco-Marcellini-Sbordone?
Perchè?
Per il resto, nelle ipotesi dei teoremi o scrivi esplicitamente che l'insieme di definizione di \(f\) è aperto, oppure specifichi che il punto di estremo è un punto interno all'insieme di definizione.
Perchè?
P.S.: Fusco-Marcellini-Sbordone?
Comincio rispondendo alla domanda più facile, si la mia fonte è quella con l'aggiunta della dispensa del mio professore.
Perché un punto di massimo o minimo relativo che sia è interno all'insieme?
Perchê e f è di classe $C^1(A)$ con A aperto allora f è differenziabile?
Per il resto le dimostrazioni come ti sembrano?
Perché un punto di massimo o minimo relativo che sia è interno all'insieme?
Perchê e f è di classe $C^1(A)$ con A aperto allora f è differenziabile?
Per il resto le dimostrazioni come ti sembrano?
"asabasa":
Comincio rispondendo alla domanda più facile, si la mia fonte è quella con l'aggiunta della dispensa del mio professore.
Ok.
"asabasa":
Perché un punto di massimo o minimo relativo che sia è interno all'insieme?
Non necessariamente: punti di massimo possono stare pure sulla frontiera, se l'insieme di definizione non è aperto.
Però ora noto che dalla tua definizione si evince che ti stai muovendo solo in insiemi aperti... Quindi ricordati di specificarlo nel teorema.
"asabasa":
Perchê e f è di classe $C^1(A)$ con A aperto allora f è differenziabile?
Vabbé questo ovvio.
La mia domanda nasceva dal fatto che non avevo letto che stai guardando solo insiemi di definizione aperti; quindi pensavo a come avresti definito e trattato gli estremi sulla frontiera.
"asabasa":
Per il resto le dimostrazioni come ti sembrano?
Da Marcellini-Sbordone... Se le hai ricopiate, sono corrette.
"gugo82":
[quote="asabasa"]Comincio rispondendo alla domanda più facile, si la mia fonte è quella con l'aggiunta della dispensa del mio professore.
Ok.
"asabasa":
Perché un punto di massimo o minimo relativo che sia è interno all'insieme?
Non necessariamente: punti di massimo possono stare pure sulla frontiera, se l'insieme di definizione non è aperto.
Però ora noto che dalla tua definizione si evince che ti stai muovendo solo in insiemi aperti... Quindi ricordati di specificarlo nel teorema.
"asabasa":
Perchê e f è di classe $C^1(A)$ con A aperto allora f è differenziabile?
Vabbé questo ovvio.
La mia domanda nasceva dal fatto che non avevo letto che stai guardando solo insiemi di definizione aperti; quindi pensavo a come avresti definito e trattato gli estremi sulla frontiera.[/quote]
Effettivamente mi sto muovendo solo sugli insiemi aperti, quindi ho risposto solo per quelli.
"gugo82":
[quote="asabasa"]Per il resto le dimostrazioni come ti sembrano?
Da Marcellini-Sbordone... Se le hai ricopiate, sono corrette.[/quote]
Vabbé questo è ovvio.
Grazie per i quesiti che mi hai posto, sicuramente approfondirò il caso di insiemi non aperti.
Grazie dell'attenzione.
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