Massimi, minimi e punti di sella.

[Silver1011]

Salve a tutti, oggi stavo facendo degli esercizi sulla determinazione dei punti critici in funzioni a 2 variabili e mi è venuto un dubbio.
Allora io so che per capire se un punto è di minimo, massimo o di sella devo vederela matrice determinata dalle derivate seconde parziali, cioè l 'hessiano e in particolare :

1) se det H=0 non posso dire nulla a priori
2) se det H >0 e fxx>0 il punto è di minimo
3)se det H >0 e fxx<0 il punto è di massimo
4) se det H < 0 il punto è di sella

Ora però prendendo un esercizio da internet

f(x, y) = (y − x^2)(y − 2x^2)

Ho che il punto (0;0) è un punto critico dove il det H=0,
Ho usato il metodo del segno e ho trovato che il punto è di sella. Il problema è che il risultato riporta che (0;0) non è né punto di sella, né di minino ne di massimo e non capisco il perchè e come ha fatto a giungere a questa conclusione.

Spero che voi possiate aiutarmi

[dovah01]

Ciao Silver101, il punto è che la matrice hessiana che ti ritrovi è semidefinita positiva e quindi, quando arrivi a trattare una matrice che è semidefinita positiva o semidefinita negativa, il test che applichi non ti porta da nessuna parte, è inconclusivo. Quindi nulla puoi dedurre riguardo al punto che stai considerando. Infatti se la matrice hessiana è definita positiva nel punto, allora la funzione ha un minimo locale, se è definita negativa nel punto, allora ha un massimo locale; mentre c'è un punto di sella quando la matrice ha almeno due autovalori di segno opposto (l'hessiana è indefinita). Se non si rientra in nessuno di questi casi, allora nulla puoi concludere sul punto in discussione. Spero di aver risposto esaurientemente alla tua domanda

[Silver1011]

Sono riuscita a capire il perchè di quel risultato.
Grazie mille di avermi aiutata

[dissonance]

"dovah01":c'è un punto di sella quando la matrice ha almeno due autovalori di segno opposto (l'hessiana è indefinita). Se non si rientra in nessuno di questi casi, allora nulla puoi concludere sul punto in discussione.

E qui c'è un po' di confusione perché alcuni autori chiamano "di sella" tutti i punti critici che non sono né massimi né minimi locali, mentre per altri un punto di sella richiede che la matrice Hessiana abbia due autovalori di segno opposto. Sospetto che in questo caso l'autore dell'esercizio usi la prima definizione mentre il sito Internet consultato da Silver101 usi la seconda.

[Fioravante Patrone1]

"dissonance":
...
E qui c'è un po' di confusione perché alcuni autori chiamano "di sella" tutti i punti critici che non sono né massimi né minimi locali, mentre per altri un punto di sella richiede che la matrice Hessiana abbia due autovalori di segno opposto. Sospetto che in questo caso l'autore dell'esercizio usi la prima definizione mentre il sito Internet consultato da Silver101 usi la seconda.

Quanto è vero quel che dici!

A me, per esempio, la prima definizione che citi sembra stupida, e la seconda troppo forte
Preferisco una cosa del tipo: ci son due rette (non coincidenti...) passanti per il punto, per le quali il punto stesso è di max/min rispettivamente.

Ma ci sono altre opinioni in circolazione. Per non parlare della definizione specifica di punto di sella che si usa in teoria dei giochi