Massimi e minini funzioni due variabili.

Fai una domanda Tutte le categorie
sirbasic
sirbasic
15 gen 2011, 23:04
Salve vorrei una parere sullo svolgimento di questo esercizio.
Data la funzione $f(x,y)=arctan(1-yx^2 )$
1)Determinare i punti di min e max relativo,
2)Determinare i punti di max e min assoluti di f in T triangolo di estremi O(0,0), A(0,1) , B(1,0)

1) La funzione è continua $AA x,y in R$

Allora io mi ricavo le derivate parziali, le uguaglio a zero e le metto a sistema:

${ ( -2xy=0 ),( -x^2=0 ):} $

Quindi mi viene che per $x=0$ $ AA y in R $ e che per $ y=0$ $x=0$. Poi mi ricavo le derivate seconde parziali e miste e studio la matrice essiana nel punto critico $P(0,0) $

$H(0,0)= ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) )
Il determinate è uguale a zero e quindi il teorema non vale.
Adesso provo a ragionare in maniera diversa.
Vado a sostituire il punto P nella funzione e ottengo che $ f(0,0)= arctan(<1> )= pi/4$
Adesso vado a vedere quando $(1-xy^2)<1$ e $(1-xy^2)>1$ e mi trovo che fissando $x != 0 $ mi viene $y>0$ nel primo caso e nel secondo $y<0$
Quindi è un punto di sella.
Adesso per la seconda parte mi trovo i segmenti le rette dei segmenti del triangolo e mi studio la funzione.
Retta passante per AB $y=-x+1$
$f(x,-x+1) 0 $f'(x,-x+1)= (3x^2-2x)/1+(1+x^3-x^2)$, $f'(x,-x+1)=0 , x=0 y=1 , x=2/3 y=1/3 $
$f(0,1)=pi/4$
$f(2/3,1/3)
Risposte
j18eos
j18eos
18 gen 2011, 20:52
Solo una piccola notazione: si chiama matrice hessiana!

Il resto mi sembra apposto.
sirbasic
sirbasic
18 gen 2011, 21:27
si trova tutto??? grazie della risposta!!
yellow2
yellow2
18 gen 2011, 21:35
Non hai finito la prima parte, avevo provato a dirtelo in tutti modi! :P https://www.matematicamente.it/forum/fun ... tml#476784

I punti stazionari sono tutti quelli della retta $x=0$. L'origine l'abbiamo già studiata, mancano solo tutti gli altri. :o
Non è tremenda la situazione però.
Studiamo il generico punto $(0,a)$ con $a>0$. Si avrà $y>0$ in tutto l'intorno ri raggio $a/2$ di questo punto. Pertanto in questo intorno $1-yx^2<=1$, e per la crescenza dell'arcotangente il punto è un massimo relativo. Cosa riesci a dire dei punti $(0,b)$ con $b<0$?
sirbasic
sirbasic
19 gen 2011, 13:37
mmmm.... stavo cercando di capire il tuo ragionamento. Se studiamo il punto generico $(0,b)$ con $b<0$non dovremmo avere ne minimi ne massimi o sbaglio?
yellow2
yellow2
19 gen 2011, 18:00
Perché dici così?
sirbasic
sirbasic
19 gen 2011, 18:57
perchè facendo i calcoli mi viene $-b<0$ per $b<0 $ che è quindi impossibile
yellow2
yellow2
19 gen 2011, 19:12
Non so che calcoli tu abbia fatto. L'idea è esattamente analoga a quello che ho fatto per gli $(0,a)$, soltanto che in questo caso in tutto un intorno del punto la $y$ è negativa, e quindi la sottrazione in realtà "diventa una somma".
sirbasic
sirbasic
22 gen 2011, 11:57
scusami tanto se non ho continuato a postare in questi giorni... ma non ho avuto tempo! Comunque il mio ragionamento iniziale per studiare il punto generico $(0,a)$ con $a>0$ e il punto generico $(0,b)$ con $b<0$ era completamente sbagliato. Adesso non so se io e te abbiamo usato lo stesso ragionamento con gli stessi calcoli comunque io mi trovo con $(0,a)$ massimo relativo e $(0,b)$ minimo relativo.
yellow2
yellow2
22 gen 2011, 12:03
Ci siamo! La valutazione sul bordo del rettangolo però me la leggo un'altra volta. :lol:
sirbasic
sirbasic
22 gen 2011, 12:06
E' un triangolo :D. Comunque quel punto dovrebbe essere fatto bene da come dice j18eos.
Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.