Massimi e minimo su la frontiera
ciao ragazzi pochi giorni fa ho messo un esercizio simile ma nessuno mi ha saputo rispondere adeguatamente percio oggi voglio postarvi un altro esercizio molto piu semplice ma che ugualmente mi crea dubbi su lo svolgimento iniziamo
$f(x,y)=e^(xy)$ ristretta a $D:{(x,y):x^2-1<=y<=3}$
quindi dobbiamo studiare i massimi e minimi assoluti della funzione ristretta a quelle due curve e l esistenza di tali punti è garantita dal caro weistrass
il primo step e quello di verificare se ci sono punti critici interni quindi prendo la mia funzione mi trovo $nablaf(x,y)$ e poi lo pongo uguale a zero dopo di che vedo per quali valori di x,y si annulla e dico che quello è un punto critico nel nostro caso il punto critico è $P=(0,0)$ per vedere se è un massimo o un minimo mi costruisco l Hessiana e studio il segno della matrice nel mio caso è negativa quindi si tratta proprio di un punto di sella quindi per il caro teorema di fermat noi non sappiamo nulla su cosa succede su la frontiera delle nostre curve perche se ci ricordiamo in analisi uno il teorema vale per un intorno $(a,b)$ aperto quindi esclusi gli estremi,idem in casi tridimensionali perciò dobbiamo prendere la nostra funzione e restringerla proprio su quelle curve tramite semplici parametrizzazioni
quindi prendiamo la prima curva $S1:{y=x^2-1}$ quindi
$f(x,y)|_(y=x^2-1)=e^(x(x^2-1))$
$f'(x,y)|_(y=x^2-1)=e^(x^3-x)(3x^2-1)$ poniamo la derivata uguale a zero e troviamo i punti critici su la retta cioè
$x=+-1/sqrt(3)$
mentre per $S2:{y=3}$
$f(x,y)|_(y=3)=e^(3x)$
$f'(x,y)|_(y=3)=3e^(3x)$
ma questa derivata non si annulla mai non ha soluzioni mentre la soluzione del esercizio dice che che esistono due punti critici $x=+-2$ questi due valori escono fuori dal fatto che sono i punti di intersezione delle due curve ma se la derivata non si annulla mai su tutta la retta compresi questi due punti come fanno a dire che sono dei punti di massimo o minimo ???
$f(x,y)=e^(xy)$ ristretta a $D:{(x,y):x^2-1<=y<=3}$
quindi dobbiamo studiare i massimi e minimi assoluti della funzione ristretta a quelle due curve e l esistenza di tali punti è garantita dal caro weistrass
il primo step e quello di verificare se ci sono punti critici interni quindi prendo la mia funzione mi trovo $nablaf(x,y)$ e poi lo pongo uguale a zero dopo di che vedo per quali valori di x,y si annulla e dico che quello è un punto critico nel nostro caso il punto critico è $P=(0,0)$ per vedere se è un massimo o un minimo mi costruisco l Hessiana e studio il segno della matrice nel mio caso è negativa quindi si tratta proprio di un punto di sella quindi per il caro teorema di fermat noi non sappiamo nulla su cosa succede su la frontiera delle nostre curve perche se ci ricordiamo in analisi uno il teorema vale per un intorno $(a,b)$ aperto quindi esclusi gli estremi,idem in casi tridimensionali perciò dobbiamo prendere la nostra funzione e restringerla proprio su quelle curve tramite semplici parametrizzazioni
quindi prendiamo la prima curva $S1:{y=x^2-1}$ quindi
$f(x,y)|_(y=x^2-1)=e^(x(x^2-1))$
$f'(x,y)|_(y=x^2-1)=e^(x^3-x)(3x^2-1)$ poniamo la derivata uguale a zero e troviamo i punti critici su la retta cioè
$x=+-1/sqrt(3)$
mentre per $S2:{y=3}$
$f(x,y)|_(y=3)=e^(3x)$
$f'(x,y)|_(y=3)=3e^(3x)$
ma questa derivata non si annulla mai non ha soluzioni mentre la soluzione del esercizio dice che che esistono due punti critici $x=+-2$ questi due valori escono fuori dal fatto che sono i punti di intersezione delle due curve ma se la derivata non si annulla mai su tutta la retta compresi questi due punti come fanno a dire che sono dei punti di massimo o minimo ???
Risposte
La seconda derivata, quella su $S_2$, ti permette di dire che per $x\in[-2,2]$ (che sono i valori estremi della $x$ sulla curva considerata) la funzione risulta sempre crescente. Questo vuol dire che, spostandosi sulla curva in questione da $x=-2$ a $x=2$ si passa da un punto di minimo in $x=-2$ ad uno di massimo $x=2$, non ti pare?
ciampax grazie della risposta ma comunque sia anche se faccio la derivata seconda essa non si annulla mai percio a mio parere non cè cambio di concavità della funzione...e poi per definizione se ci sono dei punti di massimo e minimo la derivata in tali punti deve valere proprio zero percio non so cosa pensare e questo argomento mi sta mandando in confusione
Mi sa che ti devi riguardare il concetto di massimo e minimo. Prendi la funzione $f(x)=x$ sul dominio $[0,2]$. Se la disegni, ti renderai conto che essa ha minimo in $x=0$ e massimo in $x=2$. Inoltre, ti faccio notare che per Fermat se un punto è estremale, allora ha derivata nulla, ma il fatto di avere derivata nulla non implica l'estremalità (prendi $f(x)=x^3$ e $x_0=0$).
giusto hai perfettamente ragione infatti per fermat il fatto che esista un punto estremante è un ipotesi quindi se cè un punto estremante allora la sua derivata è nulla...invece se la derivata è nulla non è detto che sia estremante il punto..giusto ?? quindi nel mio caso anche se la derivata non si annulla non posso dire nulla sul esistenza del massimo o minimo e quindi come faccio a verificare matematicamente esistenza di tali punti (logicamente lo capito infatti se la funzione è crescente in un intervallo $(a,b)$ è normale che $a$ è minimo e $b$ è massimo ) ma grazie agli strumenti matematici come posso dimostrarlo ??? cioè nel senso cè una via che posso percorrere per dire che sono massimi e minimi
Esattamente quella che hai appena detto: se $f:[a,b]\rightarrow RR$ è crescente, allora $x=a$ punto di minimo e $x=b$ punto di massimo.
riassumendo prendo la funzione la derivo e la pongo uguale a zero vedendo se ha punti critici se non li ha allora la funzione non si annulla e quindi non cambia monotonia e di conseguenza i massimi e minimi corrispondono agli estremi del nostro intervallo grazie appunto al nostro caro weistrass giusto ??
Esatto.
ecco risolto il dubbio grazie ciampax
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