Massimi e minimini funzioni in più variabili

[essenza89]

Sto studiando le condizioni necessarie affinchè un punto sia di estremo locale (massimo o minimo)

Il teorema (o Lemma 7.4 per chi ha il Baciotti-Ricci a portata di mano)
dice che
"Sia data $f$ di classe $C^2$ in un aperto $AsubeRR^n$ e sia $barx in A$ un punto stazionario, allora si ha:
1) se $barx$ è un punto di minimo locale, allora $Hf(barx)$ è semidefinita positiva
2) se $barx$ è un punto di massimo locale, allora $Hf(barx)$ è semidefinita negativa"

come dimostrazione mi danno la seguente (è un po' lunga ma la devo scrivere tutta per fa capire quali passaggi non ho capito bene);
dim:
supponiamo $barx$ un punto di minimo locale per $f$
fissato un autovalore $lambda$ di $Hf(barx)$, sia $vecv$ un autovettore relativo a quell'autovalore (cioè $ = lambda vecv$).
consideriamo la funzione
$g(t)=f(barx+tvecv)$
poichè $barx$ è minimo per $f$, $t=0$ lo è per $g$,
usando la formula di Taylor di ordine 2 con resto di peano e tenedo conto che $nablaf(barx)=vec0$, si ha che:
(1)$g(t)=f(barx+tvecv)=f(barx)+1/2 (Hf(barx)tvecv)(tvecv)+o(t^2) =$
(2)$= f(barx)+ t^2/2 (Hf(barx)vecv)(vecv))+o(t^2) =$
(3)$=f(barx)+t^2/2 +o(t^2)=$
(4)$=f(barx)+ 1/2 lambda||vecv||^2t^2 + o(t^2) $
e fino a qui ci sono a parte un piccolo passaggio dovuto alle mie lacune di algebra lineare (cioè perchè si può portare fuori $t$ facendolo diventare $t^2$ da 1) in 2) )

a questo punto mi dice che perchè $t=0$ sia un minimo per $g$ occorre che $1/2 lambda||vecv||^2t^2>=0$ e cioè $lambda>=0$

ma perchè?!?

cioè non ho capito perchè se $t=0$ deve essere un minimo per $g$, allora deve accadere che $1/2 lambda||vecv||^2t^2>=0$

sono proprio gli ultimi passaggi

grazie a tutti

(ps. lo so che a volte le domande che posto sono delle banalità e mi scuso, ma abbiate pietà di me, per me sono difficili... )

[klarence1]

"essenza89":
cioè non ho capito perchè se $t=0$ deve essere un minimo per $g$, allora deve accadere che $1/2 lambda||vecv||^2t^2>=0$

Per le funzioni di una variabile vale che se $g$ ha in $T$ un punto di minimo, ammettendo che siano verificate le ipotesi di continuità/derivabilità, allora $g'(T)=0$ e $g''(T)>=0$.
Nel tuo caso $g$, che è una funzione di una variabile, ha in $t=0$ un punto di minimo, pertanto si avrà $g'(0)=0$ (e su questo ci siamo) e $g''(0)>=0$. Ne tuo caso $g''(0)=1/2 lambda||vecv||^2>=0$ e il segno del primo membro dipende solo da $lambda$. Per avere quella quantità maggiore o uguale a zero necessariamente $lambda>=0$ .

[essenza89]

"klarence":[quote="essenza89"]
cioè non ho capito perchè se $t=0$ deve essere un minimo per $g$, allora deve accadere che $1/2 lambda||vecv||^2t^2>=0$

Per le funzioni di una variabile vale che se $g$ ha in $T$ un punto di minimo, ammettendo che siano verificate le ipotesi di continuità/derivabilità, allora $g'(T)=0$ e $g''(T)>=0$.
Nel tuo caso $g$, che è una funzione di una variabile, ha in $t=0$ un punto di minimo, pertanto si avrà $g'(0)=0$ (e su questo ci siamo) e $g''(0)>=0$. Ne tuo caso $g''(0)=1/2 lambda||vecv||^2>=0$ e il segno del primo membro dipende solo da $lambda$. Per avere quella quantità maggiore o uguale a zero necessariamente $lambda>=0$ .[/quote]

quindi, se ho capito bene
$g'(t) = (delf)/(delx) * (delx)/(delt) = 0 $ e ok (?)
e
$g''(t) =1/2 lambda ||vecv||^2 $ che deve essere $>=0$ e dato che $1/2>0$ e $||vecv||^2>=0 AAvecv$ il segno dipende solo da $lambda$

è giusto?

[klarence1]

"essenza89":

quindi, se ho capito bene
$g'(t) = (delf)/(delx) * (delx)/(delt) = 0 $ e ok (?)
e
$g''(t) =1/2 lambda ||vecv||^2 $ che deve essere $>=0$ e dato che $1/2>0$ e $||vecv||^2>=0 AAvecv$ il segno dipende solo da $lambda$

è giusto?

$g'(t)=$ regola di derivazione della composizione di funzioni. Quindi per $t=0$ segue...
$g'(0)= =0$ perchè il vettore gradiente è nullo in $x_0$.

Per la derivata seconda va bene.

[essenza89]

"klarence":
$g'(t)=$ regola di derivazione della composizione di funzioni. Quindi per $t=0$ segue...
$g'(0)==0$ perchè il vettore gradiente è nullo in $x_0$.

Per la derivata seconda va bene.

giusto!
grazie mille!

[klarence1]

"essenza89":[quote="klarence"]
$g'(t)=$ regola di derivazione della composizione di funzioni. Quindi per $t=0$ segue...
$g'(0)==0$ perchè il vettore gradiente è nullo in $x_0$.

Per la derivata seconda va bene.

giusto!
grazie mille![/quote]

Ho corretto una cosa a $g'(0)$... avevo fatto un errore per via del latex (non ho messo uno spazio fra il > e l'=)., non sono ancora molto pratico.

[essenza89]

"klarence":
Ho corretto una cosa a $g'(0)$... avevo fatto un errore per via del latex (non ho messo uno spazio fra il > e l'=)., non sono ancora molto pratico.

non ti preoccupare l'avevo capito!