Massimi e Minimi vincolati (moltiplicatore di Lagrange)
Guardando un es. svolto su un libro di Analisi II su estremi con vincolo di disequazione mi è venuto un dubbio che non sono riuscito a chiarire
La funzione è $ f(x,y)=x^2+y^2-10x-6y $ ristretta all'insieme $ S={(x,y): x+2y<=6; x>=0; y>=0 } $
l'unico punto interno che trova ponendo le derivate parziali uguali a 0 è $ (5,3) $ che con lo studio dell'Hessiano risulta un punto di min. relativo, e fin qui tutto chiaro...
Quando passa allo studio dei p.ti di frontiera con Lagrange usando la formula $ L(x,y,k)=f(x,y)+-kg(x,y) $ con $ k $ moltiplicatore di Lagrange analizza un vincolo per volta, ovvero prima risolve il sistema di 3 equazioni (date dalle derivate parziali della Langrangiana per x,y,k) ottenuto dal vincolo $ x+2y<=6 $ quindi $ g(x,y) $ che moltiplica k è $ (x+2y-6) $
quando risolve gli altri due sistemi ovvero $ x>=0 $ e $ y>=0 $ i vincoli li trasforma in $ -x<=0 $ e $ -y<=0 $
se il mio vincolo fosse stato $ -3<=y-2x<=3 $ la $ g(x,y) $ da inserire nella Langrangiana sarebbe $ y-2x-3 $ giusto ?
La funzione è $ f(x,y)=x^2+y^2-10x-6y $ ristretta all'insieme $ S={(x,y): x+2y<=6; x>=0; y>=0 } $
l'unico punto interno che trova ponendo le derivate parziali uguali a 0 è $ (5,3) $ che con lo studio dell'Hessiano risulta un punto di min. relativo, e fin qui tutto chiaro...
Quando passa allo studio dei p.ti di frontiera con Lagrange usando la formula $ L(x,y,k)=f(x,y)+-kg(x,y) $ con $ k $ moltiplicatore di Lagrange analizza un vincolo per volta, ovvero prima risolve il sistema di 3 equazioni (date dalle derivate parziali della Langrangiana per x,y,k) ottenuto dal vincolo $ x+2y<=6 $ quindi $ g(x,y) $ che moltiplica k è $ (x+2y-6) $
quando risolve gli altri due sistemi ovvero $ x>=0 $ e $ y>=0 $ i vincoli li trasforma in $ -x<=0 $ e $ -y<=0 $
se il mio vincolo fosse stato $ -3<=y-2x<=3 $ la $ g(x,y) $ da inserire nella Langrangiana sarebbe $ y-2x-3 $ giusto ?
Risposte
Di quale retta trovi le intersezioni?
y=2...ho sbagliato a scrivere...
I metodi di risoluzione sono essenzialmente tre:
1 - Curve di livello (molto elegante quando si possono determinare i punti di tangenza tra le curve di livello e i vincoli essenzialmente con i metodi della geometria analitica, quindi solo in casi particolari).
2 - Restrizioni.
3 - Moltiplicatori di Lagrange.
Con i vincoli che solitamente proponi, io consiglierei il metodo delle restrizioni.
1 - Curve di livello (molto elegante quando si possono determinare i punti di tangenza tra le curve di livello e i vincoli essenzialmente con i metodi della geometria analitica, quindi solo in casi particolari).
2 - Restrizioni.
3 - Moltiplicatori di Lagrange.
Con i vincoli che solitamente proponi, io consiglierei il metodo delle restrizioni.
si ho notato anch'io che faccio molto più rapidamente i calcoli...è che il metodo delle restrizioni non mi era ben chiaro finchè non ho letto le tue spiegazioni nel post di Nausicaa91...grazie per la pazienza
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