Massimi e Minimi vincolati (moltiplicatore di Lagrange)
Guardando un es. svolto su un libro di Analisi II su estremi con vincolo di disequazione mi è venuto un dubbio che non sono riuscito a chiarire
La funzione è $ f(x,y)=x^2+y^2-10x-6y $ ristretta all'insieme $ S={(x,y): x+2y<=6; x>=0; y>=0 } $
l'unico punto interno che trova ponendo le derivate parziali uguali a 0 è $ (5,3) $ che con lo studio dell'Hessiano risulta un punto di min. relativo, e fin qui tutto chiaro...
Quando passa allo studio dei p.ti di frontiera con Lagrange usando la formula $ L(x,y,k)=f(x,y)+-kg(x,y) $ con $ k $ moltiplicatore di Lagrange analizza un vincolo per volta, ovvero prima risolve il sistema di 3 equazioni (date dalle derivate parziali della Langrangiana per x,y,k) ottenuto dal vincolo $ x+2y<=6 $ quindi $ g(x,y) $ che moltiplica k è $ (x+2y-6) $
quando risolve gli altri due sistemi ovvero $ x>=0 $ e $ y>=0 $ i vincoli li trasforma in $ -x<=0 $ e $ -y<=0 $
se il mio vincolo fosse stato $ -3<=y-2x<=3 $ la $ g(x,y) $ da inserire nella Langrangiana sarebbe $ y-2x-3 $ giusto ?
La funzione è $ f(x,y)=x^2+y^2-10x-6y $ ristretta all'insieme $ S={(x,y): x+2y<=6; x>=0; y>=0 } $
l'unico punto interno che trova ponendo le derivate parziali uguali a 0 è $ (5,3) $ che con lo studio dell'Hessiano risulta un punto di min. relativo, e fin qui tutto chiaro...
Quando passa allo studio dei p.ti di frontiera con Lagrange usando la formula $ L(x,y,k)=f(x,y)+-kg(x,y) $ con $ k $ moltiplicatore di Lagrange analizza un vincolo per volta, ovvero prima risolve il sistema di 3 equazioni (date dalle derivate parziali della Langrangiana per x,y,k) ottenuto dal vincolo $ x+2y<=6 $ quindi $ g(x,y) $ che moltiplica k è $ (x+2y-6) $
quando risolve gli altri due sistemi ovvero $ x>=0 $ e $ y>=0 $ i vincoli li trasforma in $ -x<=0 $ e $ -y<=0 $
se il mio vincolo fosse stato $ -3<=y-2x<=3 $ la $ g(x,y) $ da inserire nella Langrangiana sarebbe $ y-2x-3 $ giusto ?
Risposte
se a qualcuno non è chiaro quello che ho scritto...lo chieda...
Non sei stato molto lineare, in ogni modo è giusto.
grazie della risposta...ma se avessi preso $ y-2x+3 $ non sarebbe stato giusto per quale motivo...?
Se il vincolo ha equazione $y - 2x = 3$ allora $g(x,y) = y - 2x - 3$ oppure $g(x,y) = -y + 2x + 3$.
Se il vincolo ha equazione $y - 2x = -3$ allora $g(x,y) = y - 2x + 3$ oppure $g(x,y) = -y + 2x - 3$.
Se il vincolo ha equazione $y - 2x = -3$ allora $g(x,y) = y - 2x + 3$ oppure $g(x,y) = -y + 2x - 3$.
si quello lo so...ma in questo caso il vincolo non è di uguaglianza ma di disuguaglianza...ed è maggiore uguale di -3 e minore uguale di 3....quindi se porto a "destra" il primo o a "sinistra" il secondo...cambia di segno il 3...è quello che non mi è chiaro...
Quando applichi il metodo ti metti sulla frontiera, quindi devi considerare solo l'uguaglianza.
Quelli sono due vincoli diversi, quindi una delle tre equazioni che ottieni dalla Lagrangiana ovviamente cambia.
Quelli sono due vincoli diversi, quindi una delle tre equazioni che ottieni dalla Lagrangiana ovviamente cambia.
ok...quindi dovrei fare due sistemi con due Langrangiane diverse...prima eguagliando il vincolo a - 3, l'altra a 3...se non ho capito male...
però non continuo a capire se è come hai detto tu...perchè nell'esercizio svolto del primo post, se inzialmente il vincolo è $ x>=0 $ lo fa diventare $ -x<=0 $
capisco che è la solita cosa...anche se lo poni uguale a 0...però nella Langrangiana cambia se moltiplichi $ k $ per $ -x $ invece di $ x $
però non continuo a capire se è come hai detto tu...perchè nell'esercizio svolto del primo post, se inzialmente il vincolo è $ x>=0 $ lo fa diventare $ -x<=0 $
capisco che è la solita cosa...anche se lo poni uguale a 0...però nella Langrangiana cambia se moltiplichi $ k $ per $ -x $ invece di $ x $
forse il mio errore stà nello scegliere il segno del moltiplicatore di Lagrange...ovvero se il vincolo è $ -3<=y-2x<=3 $ le due Langrangiane saranno
$ L(x,y,k)=f(x,y)+k(y-2x+3) $
e
$ L(x,y,k)=f(x,y)-k(y-2x-3) $
cioè il segno di k è positivo per un vincolo $ >= $ e negativo per un vincolo $ <= $
o sono totalmente fuori strada ?
$ L(x,y,k)=f(x,y)+k(y-2x+3) $
e
$ L(x,y,k)=f(x,y)-k(y-2x-3) $
cioè il segno di k è positivo per un vincolo $ >= $ e negativo per un vincolo $ <= $
o sono totalmente fuori strada ?
Anche $k$ è incognito, quindi scrivere $k(y - 2x - 3)$ oppure $-k(y - 2x - 3)$ non fa nessuna differenza.
ok...ma allora che senso ha prendere come vincolo $ -x<=0 $ invece che lasciare come nel testo iniziale $ x>=0 $ (es.svolto su un libro di analisi)
se $ L(x,y,k)=f(x,y)+-k(-x) $ è l'equivalente di scrivere $ L(x,y,k)=f(x,y)+-k(x) $ ??
se $ L(x,y,k)=f(x,y)+-k(-x) $ è l'equivalente di scrivere $ L(x,y,k)=f(x,y)+-k(x) $ ??
Il risultato finale non cambia. Non so poi, se nello svolgimento, fa delle considerazioni che dipendono da quella posizione.
Stavo comunque notando che $(5,3)$ è esterno al tuo dominio, quindi non devi considerarlo.
Stavo comunque notando che $(5,3)$ è esterno al tuo dominio, quindi non devi considerarlo.
si vero, non fa parte del dominio...
considerazioni non ne fà è per questo che mi aveva mandato in confusione...non capivo l'utilità di quel cambio di segno
cmq grazie, credo (e spero) di avere le idee più chiare adesso.
al limite più tardi o nei giorni prox posterò un esercizio passo passo di cui non ho lo svolgimento, così se commetto qualche errore me lo segnali...ancora grazie per la pazienza
considerazioni non ne fà è per questo che mi aveva mandato in confusione...non capivo l'utilità di quel cambio di segno
cmq grazie, credo (e spero) di avere le idee più chiare adesso.
al limite più tardi o nei giorni prox posterò un esercizio passo passo di cui non ho lo svolgimento, così se commetto qualche errore me lo segnali...ancora grazie per la pazienza
Trovare gli estremi assoluti della funzione $ f(x,y)=-x^2y+xy^2 $ ristretta all'insieme $ G={(x,y):0<=y<=2;y>=x^2 } $
effettuando la ricerca dei p.ti interni $ (nabla f=0) $ trovo che l'unico punto critico è $ (0,0) $
p.ti di frontiera (ricerca dei p.ti stazionari)
vincolo $ y>=0 $ la Lagrangiana sarà $ L(x,y,k)=-x^2y+xy^2+ky $ quindi il mio 1° sistema
$ { ( -2xy+y^2=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y=0 ):} $
vincolo $ y<=2 $ la Lagrangiana sarà $ L(x,y,k)=-x^2y+xy^2+k(y-2) $ e il mio 2° sistema
$ { ( -2xy+y^2=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y-2=0 ):} $
vincolo $ y>=x^2 $ la Lagrangiana sarà $ L(x,y,k)=-x^2y+xy^2+k(y-x^2) $ e il mio 3° sistema
$ { ( -2xy+y^2-2xk=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y-x^2=0 ):} $
le soluzioni (non ho lo svolgimento) dell'es. sono
$ (-sqrt(2),2) $ punto di minimo assoluto
$ (1,2) $ punto di massimo assoluto
il massimo assoluto mi torna dal 2° sistema, mentre il punto di minimo assoluto non sono riuscito a ricavarlo dagli altri sistemi...ho sbagliato qualcosa nell'impostazione ??
effettuando la ricerca dei p.ti interni $ (nabla f=0) $ trovo che l'unico punto critico è $ (0,0) $
p.ti di frontiera (ricerca dei p.ti stazionari)
vincolo $ y>=0 $ la Lagrangiana sarà $ L(x,y,k)=-x^2y+xy^2+ky $ quindi il mio 1° sistema
$ { ( -2xy+y^2=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y=0 ):} $
vincolo $ y<=2 $ la Lagrangiana sarà $ L(x,y,k)=-x^2y+xy^2+k(y-2) $ e il mio 2° sistema
$ { ( -2xy+y^2=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y-2=0 ):} $
vincolo $ y>=x^2 $ la Lagrangiana sarà $ L(x,y,k)=-x^2y+xy^2+k(y-x^2) $ e il mio 3° sistema
$ { ( -2xy+y^2-2xk=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y-x^2=0 ):} $
le soluzioni (non ho lo svolgimento) dell'es. sono
$ (-sqrt(2),2) $ punto di minimo assoluto
$ (1,2) $ punto di massimo assoluto
il massimo assoluto mi torna dal 2° sistema, mentre il punto di minimo assoluto non sono riuscito a ricavarlo dagli altri sistemi...ho sbagliato qualcosa nell'impostazione ??
Dovresti ottenere entrambi dal secondo sistema.
non riesco a capire come, perchè svolgendo il 2° sistema trovo
$ { ( y(y-2x)=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y-2=0 ):} $
e quindi la $ y=0 $ non la considero dato che non soddisfa la 3° equazione del sistema e trovo
$ { ( x=1 ),( y=2 ),( k=-3 ):} $
per trovare l'altra x che non sia 1 dalla 2° equazione non so che valore dare a K, perchè se risolvo l'equazione per y=2 e K=-3 trovo che X=1 (già trovata) o X=3
$ { ( y(y-2x)=0 ),( -x^2+2xy+k=0 ),( y-2=0 ):} $
e quindi la $ y=0 $ non la considero dato che non soddisfa la 3° equazione del sistema e trovo
$ { ( x=1 ),( y=2 ),( k=-3 ):} $
per trovare l'altra x che non sia 1 dalla 2° equazione non so che valore dare a K, perchè se risolvo l'equazione per y=2 e K=-3 trovo che X=1 (già trovata) o X=3
Non trovi il minimo assoluto perchè è proprio il punto d'intersezione tra due vincoli. Questi punti vanno calcolati a mano.
a mano ?
A pagina 4 trovi un'interessante discussione di qualche giorno fa dal titolo "esercizio massimi e minimi assoluti, funz. di due variabili!" proposta da Nausicaa91. Dopo magari ne riparliamo.
ho guardato il post di Nausicaa91...anche quello prima...vediamo se ho capito qualcosa...
l'ultimo es. ho provato a risolverlo, quello in cui la funzione è $ f(x,y)=e^x(x+y^2+1) $ con $ -3<=x<=0,-1<=y<=1 $
ho trovato come unico punto critico interno (-2,0) min.rel.
poi per calcolare i punti sulla frontiera devo parametrizzare per portare la funzione da due variabili a una funzione di una variabile
quindi lato per lato (scrivo solo i parametri e il punto critico interno che ho trovato per farla breve)
$ f(t,-1) $ ---> $ (-3,1) $
$ f(0,t) $ ---> $ (0,0) $
$ f(t,-1) $ ---> $ (-3,1) $
$ f(-3,t) $ ---> $ (-3,0) $
tutti i 4 punti che ho trovato sono di minimo relativo perchè la derivata 2° della funzione parametrizata è >0
i punti (-3,1) e (-3,-1) li avrei consideratoi cmq perchè vertici del mio "rettangolo"
ora mi vado a calcolare che valore assume la funzione nei vertici (0,1) e (0,-1)
se non ho fatto male i calcoli a me risulta
(0,1) e (0,-1) max assoluti
(-3,0) min assoluto
giusto ?
l'ultimo es. ho provato a risolverlo, quello in cui la funzione è $ f(x,y)=e^x(x+y^2+1) $ con $ -3<=x<=0,-1<=y<=1 $
ho trovato come unico punto critico interno (-2,0) min.rel.
poi per calcolare i punti sulla frontiera devo parametrizzare per portare la funzione da due variabili a una funzione di una variabile
quindi lato per lato (scrivo solo i parametri e il punto critico interno che ho trovato per farla breve)
$ f(t,-1) $ ---> $ (-3,1) $
$ f(0,t) $ ---> $ (0,0) $
$ f(t,-1) $ ---> $ (-3,1) $
$ f(-3,t) $ ---> $ (-3,0) $
tutti i 4 punti che ho trovato sono di minimo relativo perchè la derivata 2° della funzione parametrizata è >0
i punti (-3,1) e (-3,-1) li avrei consideratoi cmq perchè vertici del mio "rettangolo"
ora mi vado a calcolare che valore assume la funzione nei vertici (0,1) e (0,-1)
se non ho fatto male i calcoli a me risulta
(0,1) e (0,-1) max assoluti
(-3,0) min assoluto
giusto ?
ok...ho capito cosa mi volevi dire riguardo al mio esercizio...dato che i miei vincoli erano $ 0<=y<=2 $ e $ y>=x^2 $
trovo le due intersezioni della retta $ y=x $ con la parabola $ y=x^2 $ che sono i punti $ (-sqrt(2),2) $ e $ (sqrt(2),2) $
sostituisco i valori alla funzione e trovo che il primo di questi due punti è di minimo assoluto...quindi l'esercizio così mi viene...il punto è che senza il tuo suggerimento non ci sarei arrivato...ma l'aver utilizzato Lagrange in questo es. è un errore ?...cioè il punto (1,2) di massimo assoluto era più semplice ricavarlo con un altro metodo ?[/img]
trovo le due intersezioni della retta $ y=x $ con la parabola $ y=x^2 $ che sono i punti $ (-sqrt(2),2) $ e $ (sqrt(2),2) $
sostituisco i valori alla funzione e trovo che il primo di questi due punti è di minimo assoluto...quindi l'esercizio così mi viene...il punto è che senza il tuo suggerimento non ci sarei arrivato...ma l'aver utilizzato Lagrange in questo es. è un errore ?...cioè il punto (1,2) di massimo assoluto era più semplice ricavarlo con un altro metodo ?[/img]
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