Massimi e Minimi vincolati (funzione di 2 variabili)
la mia funzione è $ f(x,y)=x^2+y^2-xy-3 $ e si vuole calcolare gli estremi assoluti nell'insieme $ A={(x,y):-1<=y<=1;-3<=y-2x<=3 } $
volendo fare la rappresentazione bidimensionale con asse x e y dell'insieme dovrebbe venire un parallelogramma di vertici (-1,1);(2,1);(-2,-1);(1,-1)
punti critici interni $ nabla f=0 $
$ P1=(0,0) $ e con lo studio dell'Hessiano trovo che è un punto di min. relativo
punti sulla frontiera
$ f(x,1)=x^2-x-2 $
$ f'=2x-1 $ quindi $ x=1/2 $ per sapere se $ P2=(1/2,1) $ è un punto di minimo o massimo relativo studio il segno della derivata 2°
$ f''=2>0 $ quindi è un punto di min. relativo
così facendo anche per gli altri lati trovo i seguenti risultati
$ f(x,-1) $ trovo $ P3=(-1/2,-1) $ min. relativo
$ f(x,2x+3) $ trovo $ P4=(-3/2,0) $ min. relativo
$ f(x,2x-3) $ trovo $ P5=(3/2,0) $ min. relativo
ora guardo che valore assume la funzione in questi 5 punti che ho trovato più nei 4 vertici del parallelogramma
e trovo che in (0,0) ho min ASSOLUTO e la funzione vale -3
nei 4 vertici del parallelogramma mi sembra strano ma mi viene che la funzione assume valore 0 (in tutti e 4)
il MASSIMO ASSOLUTO mi risulta (-1/2,-1) dove la funzione assume valore 1, ma allora perchè secondo la derivata 2° che era maggiore di 0 doveva essere un punto di min. relativo...cosa ho sbagliato ?
volendo fare la rappresentazione bidimensionale con asse x e y dell'insieme dovrebbe venire un parallelogramma di vertici (-1,1);(2,1);(-2,-1);(1,-1)
punti critici interni $ nabla f=0 $
$ P1=(0,0) $ e con lo studio dell'Hessiano trovo che è un punto di min. relativo
punti sulla frontiera
$ f(x,1)=x^2-x-2 $
$ f'=2x-1 $ quindi $ x=1/2 $ per sapere se $ P2=(1/2,1) $ è un punto di minimo o massimo relativo studio il segno della derivata 2°
$ f''=2>0 $ quindi è un punto di min. relativo
così facendo anche per gli altri lati trovo i seguenti risultati
$ f(x,-1) $ trovo $ P3=(-1/2,-1) $ min. relativo
$ f(x,2x+3) $ trovo $ P4=(-3/2,0) $ min. relativo
$ f(x,2x-3) $ trovo $ P5=(3/2,0) $ min. relativo
ora guardo che valore assume la funzione in questi 5 punti che ho trovato più nei 4 vertici del parallelogramma
e trovo che in (0,0) ho min ASSOLUTO e la funzione vale -3
nei 4 vertici del parallelogramma mi sembra strano ma mi viene che la funzione assume valore 0 (in tutti e 4)
il MASSIMO ASSOLUTO mi risulta (-1/2,-1) dove la funzione assume valore 1, ma allora perchè secondo la derivata 2° che era maggiore di 0 doveva essere un punto di min. relativo...cosa ho sbagliato ?
Risposte
Devi aver sbagliato a calcolare il valore della funzione in quel punto.
eh si...che errore tra l'altro...guardando la funzione dovevo vedere subito che veniva quanto (1/2,1)...
ma quindi ho 4 massimi assoluti nei 4 vertici dove la funzione vale sempre 0...mi sembra strano...ma ho ricontrollato i calcoli...non so se ho sbagliato qualche errore di impostazione...ma non mi pare...
ma quindi ho 4 massimi assoluti nei 4 vertici dove la funzione vale sempre 0...mi sembra strano...ma ho ricontrollato i calcoli...non so se ho sbagliato qualche errore di impostazione...ma non mi pare...
Sarebbe strano il contrario, se la stessa curva di livello $f(x,y) = 0$ passa per quei quattro punti.
mmm...non ho ben capito cosa vuoi dire...
se io trovo i valori della funzione quando passa dai 4 vertici mi viene f(x,y)=0
se io trovo i valori della funzione quando passa dai 4 vertici mi viene f(x,y)=0
Il luogo geometrico dei punti del piano per i quali $f(x,y) = 0$ nel tuo caso è $x^2 +y^2 - xy - 3 = 0$. Facendo un po' di conti potresti disegnarlo nel piano: molto probabilmente si tratta di un'ellisse o di un'iperbole ruotata. Bene, quando calcoli la funzione in un punto qualsiasi di questa conica, la funzione vale 0. E non dovrebbe stupire che una conica possa passare proprio per i 4 punti che sono i vertici del tuo dominio.
ok...da come avevi scritto prima avevo capito il contrario...quindi ti risulta anche a te che nei 4 vertici ho i 4 massimi assoluti...?
Risulta anche a me.
eccomi qua con un altro esercizio e altri dubbi (speriamo finiscano)
trovare gli estremi assoluti di $ f(x,y)=x^2-4xy+4y^2 $ ristretta all'insieme $ A={(x,y):x^2/4+y^2/3<=1 } $
ho calcolato il gradiente e si annulla per i punti critici $ P0(0,0) $ e $ P1(2y,y) $
il determinante della matrice hessiana risulta 0 e pur guardando diversi esempi nel forum a riguardo non sono riuscito a capire bene come si studia l'intorno di un punto critico "a mano".
ho capito che il punto di partenza è calcolarsi quando risulta $ f(x,y)-f(P)>0 $ , prendendo il punto critico (0,0), avrei $ x^2-4xy+4y^2>0 $ che risulta maggiore di 0 solo se il segno di x e y è discorde, giusto ?...ma non riesco a capire che conclusione trarre da ciò ?
il secondo dubbio mi viene facendo la derivata prima per lo studio dei p.ti di frontiera
ho parametrizzato con $ x=2cos t $ e $ y=sqrt(3)sent $
$ f(t)=4cos^2t-8sqrt(3)costsent+12sen^2t $ con t [0,2π]
$ f'(t)=-8costsent+8sqrt(3)sen^2t-8sqrt(3)cos^2t+24costsent=8sqrt(3)(sen^2t-cos^2t)+16sentcost $
se ho fatto giusto i calcoli non dovrebbe annularsi per nessun valore di t...o sbaglio ?!?...quindi non esistono punti di max o min sulla frontiera, è possibile ?!?
trovare gli estremi assoluti di $ f(x,y)=x^2-4xy+4y^2 $ ristretta all'insieme $ A={(x,y):x^2/4+y^2/3<=1 } $
ho calcolato il gradiente e si annulla per i punti critici $ P0(0,0) $ e $ P1(2y,y) $
il determinante della matrice hessiana risulta 0 e pur guardando diversi esempi nel forum a riguardo non sono riuscito a capire bene come si studia l'intorno di un punto critico "a mano".
ho capito che il punto di partenza è calcolarsi quando risulta $ f(x,y)-f(P)>0 $ , prendendo il punto critico (0,0), avrei $ x^2-4xy+4y^2>0 $ che risulta maggiore di 0 solo se il segno di x e y è discorde, giusto ?...ma non riesco a capire che conclusione trarre da ciò ?
il secondo dubbio mi viene facendo la derivata prima per lo studio dei p.ti di frontiera
ho parametrizzato con $ x=2cos t $ e $ y=sqrt(3)sent $
$ f(t)=4cos^2t-8sqrt(3)costsent+12sen^2t $ con t [0,2π]
$ f'(t)=-8costsent+8sqrt(3)sen^2t-8sqrt(3)cos^2t+24costsent=8sqrt(3)(sen^2t-cos^2t)+16sentcost $
se ho fatto giusto i calcoli non dovrebbe annularsi per nessun valore di t...o sbaglio ?!?...quindi non esistono punti di max o min sulla frontiera, è possibile ?!?
Prova la seguente trasformazione:
$8sqrt(3)(sin^2t - cos^2t) + 16sintcost = -8sqrt(3)cos2t + 8sin2t$
$8sqrt(3)(sin^2t - cos^2t) + 16sintcost = -8sqrt(3)cos2t + 8sin2t$
ok...allora ho visto che hai usato le formule di duplicazione...
ho capito che la derivata prima si annulla per t=π/12, però ci sono arrivato per via intuitiva e guardando le tabelle di seno e coseno...è giusto fare così...o dovrei fare degli sviluppi analitici della tua trasformazione per arrivare a tale risultato ?!?
i passaggi precedenti tornano anche a te, o ti sei fidato dei miei calcoli...perchè ero un pò dubbioso sulla derivata di f(t)
cmq grazie, sei sempre molto breve ma chiaro, mi sei stato di grande aiuto finora
ho capito che la derivata prima si annulla per t=π/12, però ci sono arrivato per via intuitiva e guardando le tabelle di seno e coseno...è giusto fare così...o dovrei fare degli sviluppi analitici della tua trasformazione per arrivare a tale risultato ?!?
i passaggi precedenti tornano anche a te, o ti sei fidato dei miei calcoli...perchè ero un pò dubbioso sulla derivata di f(t)
cmq grazie, sei sempre molto breve ma chiaro, mi sei stato di grande aiuto finora
I conti vanno bene. Dovresti risolvere quell'equazione, che dividendo per $cos2t$ diventa $tg2t = sqrt(3).
Le soluzioni sono $t = \pi/6 + k\pi/2$ con $kinZZ$. Ma ho l'impressione che tu non sia un mostro in goniometria.
Le soluzioni sono $t = \pi/6 + k\pi/2$ con $kinZZ$. Ma ho l'impressione che tu non sia un mostro in goniometria.
hai l'impressione giusta...
ma allora non è giusta come ho scritto io t=π/12...perchè pensavo che col 2t si semplificava e veniva cos π/6 e sen π/6
ma molto probabilmente dovevo scrivere come hai scritto tu...π/6+kπ/2 anche se il +kπ/2 non dovrebbe indicare la frequenza con cui il risultato si ripete essendo una funzione periodica
ma allora non è giusta come ho scritto io t=π/12...perchè pensavo che col 2t si semplificava e veniva cos π/6 e sen π/6
ma molto probabilmente dovevo scrivere come hai scritto tu...π/6+kπ/2 anche se il +kπ/2 non dovrebbe indicare la frequenza con cui il risultato si ripete essendo una funzione periodica
Devi prendere le soluzioni che appartengono all'intervallo $[0,2\pi]$, quindi $1/6\pi$, $2/3\pi$, $7/6\pi$, $5/3\pi$. Per quanto riguarda i punti interni, ti sei accorto che la funzione può essere scritta come $f(x,y) = (x - 2y)^2$? Questa osservazione meriterebbe di essere approfondita.
no...non ci avevo fatto caso...quindi sarà sempre $ f(x,y)>=0 $ e perciò il minimo/i assoluto/i saranno quando la funzione assume nell'insieme il valore 0
Sono proprio i punti che avevi trovato nella prima parte dello svolgimento. Tra l'altro non si capisce per quale motivo senti la necessità di esplicitare $(0,0)$ quando quel punto è già uno dei punti dell'altro insieme. Quindi, la funzione assume valore costante quando $x - 2y = k$, cioè su un insieme di rette parallele. E proprio una di queste rette, $x - 2y = 0$, dove la funzione vale $0$, è costituita dai minimi trovati. Spero tu riesca a seguirmi in questo ragionamento.
si...credo di aver capito...dunque i miei passi dovevano essere:
riscrivere la funzione sotto forma di quadrato di binomio (osservare che la funzione non poteva assumere valore inferiore a 0, MAI)
una volta trovata dal sistema del gradiente la retta x-2y=0 dire che tutti i punti interni all'insieme di tale retta sono i minimi assoluti della funzione...
i punti di intersezione tra la retta x-2y=0 e la frontiera li cerco adesso...o come penso io (spero bene) li troverò in automatico nello studio della frontiera che abbiamo fatto...non ho ancora controllato...ora lo faccio...
(infatti nei punti $ (sqrt(3) ,sqrt(3)/2) $ e $ (-sqrt(3),-sqrt(3)/2) $ la funzione vale 0, e sono proprio i miei punti d'intersezione tra retta x-2y=0 ed ellisse(insieme di restrizione))
riscrivere la funzione sotto forma di quadrato di binomio (osservare che la funzione non poteva assumere valore inferiore a 0, MAI)
una volta trovata dal sistema del gradiente la retta x-2y=0 dire che tutti i punti interni all'insieme di tale retta sono i minimi assoluti della funzione...
i punti di intersezione tra la retta x-2y=0 e la frontiera li cerco adesso...o come penso io (spero bene) li troverò in automatico nello studio della frontiera che abbiamo fatto...non ho ancora controllato...ora lo faccio...
(infatti nei punti $ (sqrt(3) ,sqrt(3)/2) $ e $ (-sqrt(3),-sqrt(3)/2) $ la funzione vale 0, e sono proprio i miei punti d'intersezione tra retta x-2y=0 ed ellisse(insieme di restrizione))
quindi non serve nemmeno fare lo studio dell'Hessiano...giusto ?
Potresti non farlo. In ogni modo, lo studio delle curve di livello, quando sono facilmente rappresentabili, aiuta ad inquadrare meglio il problema.
ma lo studio qualitativo dei punti che ho trovato sulla frontiera, devo farlo calcolando la derivata seconda...perchè se si non so cosa mi conviene:
derivare f'(t) nella forma $ f'(t)=-8sqrt(3)cos2t+8sen2t $ o nella forma $ f'(t)=(tg2t)/sqrt(3) $ ?
derivare f'(t) nella forma $ f'(t)=-8sqrt(3)cos2t+8sen2t $ o nella forma $ f'(t)=(tg2t)/sqrt(3) $ ?
Sono due espressioni completamente diverse. Un conto è utilizzare degli artifici, per esempio dividere per $cos2t$, al fine di risolvere l'equazione
$f'(t) = 0$, un conto è calcolare $f''(t)$, evidentemente devi prendere la derivata originale, al limite la puoi trasformare ma senza dividere moltiplicare, etcetera.
$f'(t) = 0$, un conto è calcolare $f''(t)$, evidentemente devi prendere la derivata originale, al limite la puoi trasformare ma senza dividere moltiplicare, etcetera.
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