Massimi e Minimi vincolati (funzione di 2 variabili)
la mia funzione è $ f(x,y)=x^2+y^2-xy-3 $ e si vuole calcolare gli estremi assoluti nell'insieme $ A={(x,y):-1<=y<=1;-3<=y-2x<=3 } $
volendo fare la rappresentazione bidimensionale con asse x e y dell'insieme dovrebbe venire un parallelogramma di vertici (-1,1);(2,1);(-2,-1);(1,-1)
punti critici interni $ nabla f=0 $
$ P1=(0,0) $ e con lo studio dell'Hessiano trovo che è un punto di min. relativo
punti sulla frontiera
$ f(x,1)=x^2-x-2 $
$ f'=2x-1 $ quindi $ x=1/2 $ per sapere se $ P2=(1/2,1) $ è un punto di minimo o massimo relativo studio il segno della derivata 2°
$ f''=2>0 $ quindi è un punto di min. relativo
così facendo anche per gli altri lati trovo i seguenti risultati
$ f(x,-1) $ trovo $ P3=(-1/2,-1) $ min. relativo
$ f(x,2x+3) $ trovo $ P4=(-3/2,0) $ min. relativo
$ f(x,2x-3) $ trovo $ P5=(3/2,0) $ min. relativo
ora guardo che valore assume la funzione in questi 5 punti che ho trovato più nei 4 vertici del parallelogramma
e trovo che in (0,0) ho min ASSOLUTO e la funzione vale -3
nei 4 vertici del parallelogramma mi sembra strano ma mi viene che la funzione assume valore 0 (in tutti e 4)
il MASSIMO ASSOLUTO mi risulta (-1/2,-1) dove la funzione assume valore 1, ma allora perchè secondo la derivata 2° che era maggiore di 0 doveva essere un punto di min. relativo...cosa ho sbagliato ?
volendo fare la rappresentazione bidimensionale con asse x e y dell'insieme dovrebbe venire un parallelogramma di vertici (-1,1);(2,1);(-2,-1);(1,-1)
punti critici interni $ nabla f=0 $
$ P1=(0,0) $ e con lo studio dell'Hessiano trovo che è un punto di min. relativo
punti sulla frontiera
$ f(x,1)=x^2-x-2 $
$ f'=2x-1 $ quindi $ x=1/2 $ per sapere se $ P2=(1/2,1) $ è un punto di minimo o massimo relativo studio il segno della derivata 2°
$ f''=2>0 $ quindi è un punto di min. relativo
così facendo anche per gli altri lati trovo i seguenti risultati
$ f(x,-1) $ trovo $ P3=(-1/2,-1) $ min. relativo
$ f(x,2x+3) $ trovo $ P4=(-3/2,0) $ min. relativo
$ f(x,2x-3) $ trovo $ P5=(3/2,0) $ min. relativo
ora guardo che valore assume la funzione in questi 5 punti che ho trovato più nei 4 vertici del parallelogramma
e trovo che in (0,0) ho min ASSOLUTO e la funzione vale -3
nei 4 vertici del parallelogramma mi sembra strano ma mi viene che la funzione assume valore 0 (in tutti e 4)
il MASSIMO ASSOLUTO mi risulta (-1/2,-1) dove la funzione assume valore 1, ma allora perchè secondo la derivata 2° che era maggiore di 0 doveva essere un punto di min. relativo...cosa ho sbagliato ?
Risposte
pensavo di aver capito, invece non mi torna un altro risultato...
nella funzione che mi hai aiutato a studiare ovvero $ f(x,y)=x^2-4xy+4y^2 $ ho fatto la derivata seconda di $ f'(t)=-8sqrt(3)cos2t+8sen2t $ che mi viene
$ f''(t)=8sqrt(3)sen2t+8cos2t=8(sqrt(3)sen2t+cos2t) $
la derivata prima avevamo trovato che si annullava per t=π/6, t=(2/3)π, t=(7/6)π, t=(5/3)π
ho calcolato quanto vale la derivata seconda in questi punti e mi risulta per il primo e terzo valore di t che f''(t)=16>0 (min.rel) e infatti la funzione in quei punti vale 0
per il secondo e quarto valore di t, $ f''(t)=-8sqrt(3) $ (max.rel.) e infatti la funzione in quei punti assume valore 16
ora veniamo a dove non mi torna...ho provato a fare un altro esercizio, simile a questo
trovare gli estremi assoluti di $ f(x,y)=3x^2-x+2y^2 $ ristretta all'insieme $ B={(x,y):4x^2+y^2<=4 } $
ho trovato come unico punto critico interno $ (1/6,0) $ che con lo studio dell'Hessiano mi risulta di min.rel.
sulla frontiera ho riscritto il vincolo nella forma $ x^2+y^2/4<=1 $ e ho parametrizzato con $ x=cost $ e $ y=2sent $
$ f(t)=3cos^2t-cost+8sen^2t $
$ f'(t)=10costsent+sent=sent(10cost+1) $ e $ f'(t)=0 $ per t=0,2π e t=π
quindi i due punti critici sulla frontiera sono P1=(1,0) e P2=(-1,0)
f(1,0)=2
f(-1,0)=4
$ f''(t)=10(cos^2t-sen^2t)+cost=10cos2t+cost $
ecco qui che non mi torna andando a vedere quanto vale la derivata seconda in quei punti
f''(0)=11>0 (min rel.)
f''(π)=9>0 (min rel.) quando la funzione in questo punto ho trovato che vale 4 e dovrebbe essere un punto di max
dov'è l'errore ?
nella funzione che mi hai aiutato a studiare ovvero $ f(x,y)=x^2-4xy+4y^2 $ ho fatto la derivata seconda di $ f'(t)=-8sqrt(3)cos2t+8sen2t $ che mi viene
$ f''(t)=8sqrt(3)sen2t+8cos2t=8(sqrt(3)sen2t+cos2t) $
la derivata prima avevamo trovato che si annullava per t=π/6, t=(2/3)π, t=(7/6)π, t=(5/3)π
ho calcolato quanto vale la derivata seconda in questi punti e mi risulta per il primo e terzo valore di t che f''(t)=16>0 (min.rel) e infatti la funzione in quei punti vale 0
per il secondo e quarto valore di t, $ f''(t)=-8sqrt(3) $ (max.rel.) e infatti la funzione in quei punti assume valore 16
ora veniamo a dove non mi torna...ho provato a fare un altro esercizio, simile a questo
trovare gli estremi assoluti di $ f(x,y)=3x^2-x+2y^2 $ ristretta all'insieme $ B={(x,y):4x^2+y^2<=4 } $
ho trovato come unico punto critico interno $ (1/6,0) $ che con lo studio dell'Hessiano mi risulta di min.rel.
sulla frontiera ho riscritto il vincolo nella forma $ x^2+y^2/4<=1 $ e ho parametrizzato con $ x=cost $ e $ y=2sent $
$ f(t)=3cos^2t-cost+8sen^2t $
$ f'(t)=10costsent+sent=sent(10cost+1) $ e $ f'(t)=0 $ per t=0,2π e t=π
quindi i due punti critici sulla frontiera sono P1=(1,0) e P2=(-1,0)
f(1,0)=2
f(-1,0)=4
$ f''(t)=10(cos^2t-sen^2t)+cost=10cos2t+cost $
ecco qui che non mi torna andando a vedere quanto vale la derivata seconda in quei punti
f''(0)=11>0 (min rel.)
f''(π)=9>0 (min rel.) quando la funzione in questo punto ho trovato che vale 4 e dovrebbe essere un punto di max
dov'è l'errore ?
Nella derivata seconda della funzione precedente hai dimenticato un fattore $2$. Per quanto riguarda la nuova funzione, la derivata si annulla anche quando $cost = -1/10$. Da questa condizione ricavi $sent = +-3/10sqrt(11)$ e quindi i punti $(-1/10,+-3/5sqrt(11))$.
chiarissimo il discorso del non aver considerato l'annullarsi della derivata prima per cost=-1/10
ma non ho capito il discorso del fattore 2...anche perchè della funzione precedente mi tornava lo studio qualitativo dei punti
...è nell'ultima che non mi torna...cioè anche se mi son dimenticato i punti che hai detto tu...la funzione assume in quei punti il valore 2,11
quindi mi rimane come massimo assoluto f(-1,0) che è il punto trovato per t=π ma f''(π)=9>0 se fosse un max...non dovrei trovare un valore minore di 0 ?
ma non ho capito il discorso del fattore 2...anche perchè della funzione precedente mi tornava lo studio qualitativo dei punti
...è nell'ultima che non mi torna...cioè anche se mi son dimenticato i punti che hai detto tu...la funzione assume in quei punti il valore 2,11
quindi mi rimane come massimo assoluto f(-1,0) che è il punto trovato per t=π ma f''(π)=9>0 se fosse un max...non dovrei trovare un valore minore di 0 ?
Allora non sai derivare $cos2t$. Ti ricordo che è una funzione composta. Inoltre un fattore $2$ non necessariamente invalida le considerazioni che hai già fatto. Per quanto riguarda l'ultima funzione, hai calcolato il valore nei punti che ti ho dato?
si...l'ho scritto...la funzione nei punti che mi hai dato vale 2,11
si è vero...ho sbagliato...ho calcolato la derivata come se fosse cost...quindi ho capito cosa vuoi dire con il 2 a fattore...
la derivata seconda viene $ f''(t)=16sqrt(3)sen2t+16cos2t $ invece di $ f''(t)=8sqrt(3)sen2t+8cos2t $ ma cmq non mi cambia nulla...invece che raccogliere un 8 raccolgo un 16...è nell'altra funzione...quella studiata successivamente che non mi torna
la derivata seconda viene $ f''(t)=16sqrt(3)sen2t+16cos2t $ invece di $ f''(t)=8sqrt(3)sen2t+8cos2t $ ma cmq non mi cambia nulla...invece che raccogliere un 8 raccolgo un 16...è nell'altra funzione...quella studiata successivamente che non mi torna
Secondo me la funzione assume valori diversi da quelli che dici tu.
hai ragione...sono un idiota 
li avevo calcolati con $ +-(3/10)sqrt(11) $ invece che con +-3/5
infatti così mi viene che la funzione vale in quei due punti 8,05 quindi sono i miei massimi assoluti..quindi lo studio della derivata seconda era giusto uguale anche se la funzione assume valore 4...il punto (-1,0) può cmq essere un punto di minimo relativo...giusto ?
li avevo calcolati con $ +-(3/10)sqrt(11) $ invece che con +-3/5infatti così mi viene che la funzione vale in quei due punti 8,05 quindi sono i miei massimi assoluti..quindi lo studio della derivata seconda era giusto uguale anche se la funzione assume valore 4...il punto (-1,0) può cmq essere un punto di minimo relativo...giusto ?
$(+-1,0)$ sono minimi, $(-1/10,+-3/5sqrt(11))$ sono massimi.
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