Massimi e minimi vincolati di una funzione a due variabili
Buongiorno,
Vorrei chiedere qualche dritta, se possibile, per la risoluzione di un esercizio.
Data la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^2(y+1)-2y \) e il suo vincolo \(\displaystyle G={(x,y) \in R^2 : \sqrt((1+x^2)) <= y <= 2 }\)
Il testo chiedeva:
a) Trovare i punti i punti stazionari:
che ho trovato tramite gradiente di f e relativa matrice hessiana come punti di sella in P(\(\displaystyle \sqrt2 , -1 \)) e Q(\(\displaystyle -\sqrt2, -1 \))
b) Trovare massimi o minimi assoluti:
che però non ho ben capito come trovare, non avendo trovato altri punti stazionari con il metodo del gradiente (possibile che non ci siano affatto?)
c) Massimi e minimi vincolati a G:
Dato Weierstrass so che esistono questi punti essendo G una sezione di un'iperbole che definisce un'area chiusa e f continua in quest'area. Solo che non so come procedere per trovare suddetti punti.
Ho pensato che, non risultando punti stazionari dall'hessiana all'interno della superficie i massimi/minimi erano da ricercarsi sul bordo di G e quindi sulle funzioni y=2 ed y=\(\displaystyle \sqrt(1+x^2) \) . Andando quindi a sostituire prima una e poi l'altra nella mia f ottenevo due funzioni ad una singola variabile in cui il calcolo del massimo/minimo si riduceva al semplice calcolo della derivata prima. E' corretto come procedimento? O mi sfugge qualcosa?
Perdonate la domanda che magari potrà sembrare banale o il procedimento che magari è una cantonata apocalittica, ma sto preparando quest'esame essenzialmente da privatista visto che il mio professore è uno di quelli che "legge la sua dispensa in classe" e non sa nemmeno risolvere gli esercizi che assegna.
Vorrei chiedere qualche dritta, se possibile, per la risoluzione di un esercizio.
Data la funzione \(\displaystyle f(x,y)=x^2(y+1)-2y \) e il suo vincolo \(\displaystyle G={(x,y) \in R^2 : \sqrt((1+x^2)) <= y <= 2 }\)
Il testo chiedeva:
a) Trovare i punti i punti stazionari:
che ho trovato tramite gradiente di f e relativa matrice hessiana come punti di sella in P(\(\displaystyle \sqrt2 , -1 \)) e Q(\(\displaystyle -\sqrt2, -1 \))
b) Trovare massimi o minimi assoluti:
che però non ho ben capito come trovare, non avendo trovato altri punti stazionari con il metodo del gradiente (possibile che non ci siano affatto?)
c) Massimi e minimi vincolati a G:
Dato Weierstrass so che esistono questi punti essendo G una sezione di un'iperbole che definisce un'area chiusa e f continua in quest'area. Solo che non so come procedere per trovare suddetti punti.
Ho pensato che, non risultando punti stazionari dall'hessiana all'interno della superficie i massimi/minimi erano da ricercarsi sul bordo di G e quindi sulle funzioni y=2 ed y=\(\displaystyle \sqrt(1+x^2) \) . Andando quindi a sostituire prima una e poi l'altra nella mia f ottenevo due funzioni ad una singola variabile in cui il calcolo del massimo/minimo si riduceva al semplice calcolo della derivata prima. E' corretto come procedimento? O mi sfugge qualcosa?
Perdonate la domanda che magari potrà sembrare banale o il procedimento che magari è una cantonata apocalittica, ma sto preparando quest'esame essenzialmente da privatista visto che il mio professore è uno di quelli che "legge la sua dispensa in classe" e non sa nemmeno risolvere gli esercizi che assegna.
Risposte
Hai trovato i punti stazionari e sono due punti di sella, quindi non esistono massimi a minimi assoluti.
Quei due punti non appartengono al vincolo ma sappiamo che la superficie sale e scende.
I massimi e minimi vincolati stanno sui bordi.
I punti in cui si intersecano l'iperbole e la retta sono $(+-sqrt(3),2)$, quindi quando andremo a studiare $f(x,2)$ analizzaremo eventuali massimi e minimi fra $-sqrt(3)
Poi studiamo $f(x,sqrt(1+x^2))$ che è più tacchiente: troviamo un punto stazionario in $f(0,1)=-2$ e altre due coppie di punti, che non scrivo perchè orribili, in cui le "altezze" valgono $0,8$ e $-1,76$.
Quindi ci sono due punti di massimo vincolati in $(+-sqrt(3),2)$ e un punto di minimo in $(0,2)$
Quei due punti non appartengono al vincolo ma sappiamo che la superficie sale e scende.
I massimi e minimi vincolati stanno sui bordi.
I punti in cui si intersecano l'iperbole e la retta sono $(+-sqrt(3),2)$, quindi quando andremo a studiare $f(x,2)$ analizzaremo eventuali massimi e minimi fra $-sqrt(3)
Poi studiamo $f(x,sqrt(1+x^2))$ che è più tacchiente: troviamo un punto stazionario in $f(0,1)=-2$ e altre due coppie di punti, che non scrivo perchè orribili, in cui le "altezze" valgono $0,8$ e $-1,76$.
Quindi ci sono due punti di massimo vincolati in $(+-sqrt(3),2)$ e un punto di minimo in $(0,2)$
Beh, grazie mille sei stato davvero esaustivo!
@above
Non è necessario citare il messaggio precedente per ringraziare. Si capisce quello che intendi. Ricordalo per le prossime volte.
Puoi Cmq eliminare la citazione tornando sul tuo post e usare il tasto modifica che trovi in alto a destra.
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