Massimi e minimi vincolati
Ciao a tutti,
mi sto imbattendo nello studio dei massimi e minimi vincolati di una funzione a due variabili.
In generale sappiamo che abbiamo la funzione obiettivo, cioè $z=f(x,y)$ e l'equazione del vincolo che è $\varphi (x,y)=0$
Cercare questi punti stazionari di fatto significa fare un sistema fra queste due curve e cercarli nella nuova funzione che ottengo e quindi se dall'equazione del vincolo riesco a esprimere una variabile in funzione dell'altra, per esempio $y$ in funzione di $x$ (cioè$y=y(x)$) basta che questa $y(x)$ la vado a sostituire nella funzione obiettivo e procedo normalmente allo studio dei punti stazionari della funzione $z=f(x,y(x))$ in due variabili.
Fin qui tutto chiarissimo, ma il problema arriva qui(espongo le parole scritte sulle mie dispense):
"Non sempre, però, è possibile conoscere l'espressione analitica della funzione $y(x)$. In tal caso un estremante vincolato per la funzione $z$ verifica l'equazione
$\frac{df}{dx}=0$
ovvero
$f_x + f_y*y'(x)=0$"
Il mio problema è proprio questo passaggio da $\frac{df}{dx}=0$ a $f_x + f_y*y'(x)=0$ , perchè da quello che ho capito, se devo esprimermi $y$ in funzione di $x$ e andarla a sostituire in $z$ poi quando derivo(chiaramente solo rispetto a $x$, infatti ho $\frac{df}{dx}=0$) da dove mi spunta quella $f_y$? Cioè se ho tutto espresso in funzione di $x$ come faccio a derivare parzialmente rispetto a $y$? Me lo sono fatto spiegare dal professore ma continuo a non capirlo...se possibile forse con un esempio pratico mi viene più agevole capirlo.
Vedo che da stamattina a ora nessuno ha risposto...ragazzi se ho scritto cose in maniera incomprensibile ditemelo! Così vedo di farmi capire meglio!
mi sto imbattendo nello studio dei massimi e minimi vincolati di una funzione a due variabili.
In generale sappiamo che abbiamo la funzione obiettivo, cioè $z=f(x,y)$ e l'equazione del vincolo che è $\varphi (x,y)=0$
Cercare questi punti stazionari di fatto significa fare un sistema fra queste due curve e cercarli nella nuova funzione che ottengo e quindi se dall'equazione del vincolo riesco a esprimere una variabile in funzione dell'altra, per esempio $y$ in funzione di $x$ (cioè$y=y(x)$) basta che questa $y(x)$ la vado a sostituire nella funzione obiettivo e procedo normalmente allo studio dei punti stazionari della funzione $z=f(x,y(x))$ in due variabili.
Fin qui tutto chiarissimo, ma il problema arriva qui(espongo le parole scritte sulle mie dispense):
"Non sempre, però, è possibile conoscere l'espressione analitica della funzione $y(x)$. In tal caso un estremante vincolato per la funzione $z$ verifica l'equazione
$\frac{df}{dx}=0$
ovvero
$f_x + f_y*y'(x)=0$"
Il mio problema è proprio questo passaggio da $\frac{df}{dx}=0$ a $f_x + f_y*y'(x)=0$ , perchè da quello che ho capito, se devo esprimermi $y$ in funzione di $x$ e andarla a sostituire in $z$ poi quando derivo(chiaramente solo rispetto a $x$, infatti ho $\frac{df}{dx}=0$) da dove mi spunta quella $f_y$? Cioè se ho tutto espresso in funzione di $x$ come faccio a derivare parzialmente rispetto a $y$? Me lo sono fatto spiegare dal professore ma continuo a non capirlo...se possibile forse con un esempio pratico mi viene più agevole capirlo.
Vedo che da stamattina a ora nessuno ha risposto...ragazzi se ho scritto cose in maniera incomprensibile ditemelo! Così vedo di farmi capire meglio!
Risposte
Tu non stai derivando parzialmente rispetto alla $x$! $(df)/(dx)$ è la derivata rispetto a $x$ di $f(x, y(x))$. Anche se non riesci a calcolare esplicitamente la $y$ in funzione di $x$ supponi che questa funzione esista.
EDIT: Forse ho capito male il tuo problema... La derivata che calcoli si chiama derivata totale (http://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative). Si vede facilmente facendo ricorso ai differenziali:
$df = f_x dx + f_y dy = f_x dx + f_y y' dx = (f_x + f_y y') dx$
EDIT: Forse ho capito male il tuo problema... La derivata che calcoli si chiama derivata totale (http://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative). Si vede facilmente facendo ricorso ai differenziali:
$df = f_x dx + f_y dy = f_x dx + f_y y' dx = (f_x + f_y y') dx$
Aaaaahhhhh!!!!!!!!!!!!!!!!!! Non so come ringraziarti mi hai illuminato!! 
Ok ho capito perfettamente!!
Nelle dispense secondo me spiegarlo in questo modo è un po' una complicazione!
Perchè effettivamente uno ragiona e dice, questi estremanti saranno tali che le derivate parziali si annullano(per definizione)
e di conseguenza il differenziale in tali punti deve essere zero! Quindi uno basta che pone $df=0$ poi si fanno i passaggi che mi hai fatto vedere, si mette a fattor comune $dx$ e si divide in entrambi i membri per $dx$!
Grazie mille mi hai salvato!
p.s. sì è vero quel $df$ di $df/dx$ sembra la derivata della $f$ invece è il differenziale!
Ok ho capito perfettamente!!
Nelle dispense secondo me spiegarlo in questo modo è un po' una complicazione!
Perchè effettivamente uno ragiona e dice, questi estremanti saranno tali che le derivate parziali si annullano(per definizione)
e di conseguenza il differenziale in tali punti deve essere zero! Quindi uno basta che pone $df=0$ poi si fanno i passaggi che mi hai fatto vedere, si mette a fattor comune $dx$ e si divide in entrambi i membri per $dx$!
Grazie mille mi hai salvato!
p.s. sì è vero quel $df$ di $df/dx$ sembra la derivata della $f$ invece è il differenziale!
No, ho paura che l'uso del differenziale ti abbia un po' confuso. Ho usato il differenziale solo per dimostrare che la derivata della funzione rispetto a $x$ è quella che ha scritto il professore, infatti il differenziale in $RR$ è semplicemente $df = f'dx$. Nota però che non ha senso dividere per $dx$, la scrittura $(df)/(dx)$ è solo simbolica (non è il differenziale di $f$ diviso quello di $x$). Ma le forme differenziali formano uno spazio vettoriale con basi le $dx_i$ e quindi se $a dx = 0$, $a = 0$.
e quindi il $df$ con la $f$ intesa come $f(x,y(x))$ non è uguale quindi a $(f_x+f_yy'(x))dx$?
Il differenziale è esattamente quello che ho scritto ma non puoi fare i passaggi:
$df = (f_x + f_yy')dx$
divido per $dx$
$(df)/(dx) = f_x + f_y y'$
Anche se entrambe le relazioni sono corrette, la divisione per $dx$ non è un'operazione ben definita e quindi non ha senso farla (e non c'è né neanche bisogno).
$df = (f_x + f_yy')dx$
divido per $dx$
$(df)/(dx) = f_x + f_y y'$
Anche se entrambe le relazioni sono corrette, la divisione per $dx$ non è un'operazione ben definita e quindi non ha senso farla (e non c'è né neanche bisogno).
Mmmm......pensavo di esserne uscito bene ....quello che non capisco....è che se $(df)/dx$ è una derivata(derivata totale), che quindi è tutt'altra cosa rispetto al differenziale...come faccio a dimostrare che $(df)/dx$ vale $f_x+f_y*y'(x)$ usando il differenziale?
....quello che non capisco....è che se $(df)/dx$ è una derivata(derivata totale), che quindi è tutt'altra cosa rispetto al differenziale...come faccio a dimostrare che $(df)/dx$ vale $f_x+f_y*y'(x)$ usando il differenziale?
Per la formula che ti ho scritto. Per le funzioni da $RR$ in $RR$ il differenziale è uguale a $df = f' dx$ dove ho usato il simbolo f' per indicare la derivata rispetto all'unica variabile. Quindi nel tuo caso, ottenuto il differenziale hai che $df = f' dx = (f_x + f_y y') dx$ e confrontando semplicemente i termini ottieni $f' = f_x + f_y y'$.
Ok facciamo così...per capirci meglio stabiliamo che $df$ è il differenziale mentre $df(x,y(x))$ è il "de" della funzione.
Ora hai detto:
Se $f'$ è la derivata della funzione rispetto all'unica variabile $x$, allora vuol dire che $f'= frac{df(x,y(x))}{dx}$ e quindi si ottiene che $df=f'dx=df(x,y(x))-----> df=df(x,y(x))$
Quindi in generale(in $R$) il differenziale di una funzione è uguale al "de" della funzione espressa in una sola variabile?
Ora hai detto:
il differenziale è uguale a $df=f'dx$ dove ho usato il simbolo f' per indicare la derivata rispetto all'unica variabile.
Se $f'$ è la derivata della funzione rispetto all'unica variabile $x$, allora vuol dire che $f'= frac{df(x,y(x))}{dx}$ e quindi si ottiene che $df=f'dx=df(x,y(x))-----> df=df(x,y(x))$
Quindi in generale(in $R$) il differenziale di una funzione è uguale al "de" della funzione espressa in una sola variabile?
Ok! Ci rifletterò su! Grazie per la disponibilità!
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