Massimi e minimi vincolati
Ho dei dubbi nel risolvere i max e i min vincolati quando la funzione risulta costante sul vincolo
Il testo è il seguente:
$ f(x,y)=y^4-3y^3lnx+2ln^2x $
Vincolo:
$ G={(x,y)\in R^2: 1<=x<=e, (lnx)^(1/2)<=y<=(2lnx)^(1/2)}$
In pratica disegno il vincolo e lo divido in tre curve
$\gamma1: y=(2lnx)^(1/2)$ con $ 1<=x<=e $
$\gamma2: y=(lnx)^(1/2)$ con $1<=x<=e $
$\gamma3: x=e$ con $1<=y<=(2)^(1/2) $
Ora andando a studiare la prima ho:
$ f(x;(2lnx)^(1/2))=4(lnx)^2-6(lnx)^2+2(lnx)^2=0$
Normalmente farei la derivata per trovare i max e min, ma se la mio funzione è 0 la derivata sarà a sua volta 0, quindi la funzione ha max o min lungo tutta la curva $y=(2lnx)^(1/2)$?
Il testo è il seguente:
$ f(x,y)=y^4-3y^3lnx+2ln^2x $
Vincolo:
$ G={(x,y)\in R^2: 1<=x<=e, (lnx)^(1/2)<=y<=(2lnx)^(1/2)}$
In pratica disegno il vincolo e lo divido in tre curve
$\gamma1: y=(2lnx)^(1/2)$ con $ 1<=x<=e $
$\gamma2: y=(lnx)^(1/2)$ con $1<=x<=e $
$\gamma3: x=e$ con $1<=y<=(2)^(1/2) $
Ora andando a studiare la prima ho:
$ f(x;(2lnx)^(1/2))=4(lnx)^2-6(lnx)^2+2(lnx)^2=0$
Normalmente farei la derivata per trovare i max e min, ma se la mio funzione è 0 la derivata sarà a sua volta 0, quindi la funzione ha max o min lungo tutta la curva $y=(2lnx)^(1/2)$?
Risposte
Certo… È costante.
P.S.: Osserva che l'esercizio diventa molto più semplice introducendo la variabile ausiliaria $z = log x$.
In tal modo, sei portato a considerare il problema di estremo per la funzione $f(z,y)=y^4 - 3y^3 z + 2z^2$ in $G^\prime =\{ (z,y):\ 0 <= z <= 1,\ sqrt(z) <= y <= sqrt(2z)\}$.
P.S.: Osserva che l'esercizio diventa molto più semplice introducendo la variabile ausiliaria $z = log x$.
In tal modo, sei portato a considerare il problema di estremo per la funzione $f(z,y)=y^4 - 3y^3 z + 2z^2$ in $G^\prime =\{ (z,y):\ 0 <= z <= 1,\ sqrt(z) <= y <= sqrt(2z)\}$.
Grazie, ma adesso come faccio a capire se sono di massimo o di minimo o di sella?
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