Massimi e minimi vincolati
Salve a tutti, stavo effettuando questo esercizio di massimi e minimi vincolati ma sono rimasto bloccato, la funzione è:
$ z = y^3-x^2-12y $
il vincolo è :
$ y^2+x-4 $
l' esercizio vuole che risolva con il metodo di sostituzione, quindi esplicito il vincolo :
$ y = sqrt(-x+4) $
e lo sostituisco sulla funzione:
$ z= sqrt((-x+4)^3)-x^2-12y $
una volta qua bisogna calcolare la derivata prima rispetto a x e poi eguagliarla a 0 così da trovare i punti critici, quindi la derivata prima è:
$ z'x= -3/2sqrt(-x+4)-2x $
eguagliandola a 0 mi viene che:
$ -4x^2-x+4=0 $
solo che effettuando il calcolo di x1,x2 vengono fuori valori troppo strani, può essere che sia ance giusto però voi che ne pensate non è che c'è qualche sbaglio?
grazie in anticipo
$ z = y^3-x^2-12y $
il vincolo è :
$ y^2+x-4 $
l' esercizio vuole che risolva con il metodo di sostituzione, quindi esplicito il vincolo :
$ y = sqrt(-x+4) $
e lo sostituisco sulla funzione:
$ z= sqrt((-x+4)^3)-x^2-12y $
una volta qua bisogna calcolare la derivata prima rispetto a x e poi eguagliarla a 0 così da trovare i punti critici, quindi la derivata prima è:
$ z'x= -3/2sqrt(-x+4)-2x $
eguagliandola a 0 mi viene che:
$ -4x^2-x+4=0 $
solo che effettuando il calcolo di x1,x2 vengono fuori valori troppo strani, può essere che sia ance giusto però voi che ne pensate non è che c'è qualche sbaglio?
grazie in anticipo
Risposte
Non ho ben capito quale sia il vincolo.
$y^2+x-4=0$?
$y^2+x-4=0$?
"anto_zoolander":
Non ho ben capito quale sia il vincolo.
$y^2+x-4=0$?
si
intanto sul fatto che $y=sqrt(4-x)$ possiamo parlarne.
Ricavarti $y$ ti costringe a porre delle condizioni e studiare alcuni casi, quindi io farei
da cui il vincolo $V={(4-y^2,y) inRR^2:y inRR}$
Calcoliamo la funzione su questo insieme
$f(4-y^2,y)=y^3-(y^2-4)^2-12y$
$g(y):=f(4-y^2,y)=-y^4+y^3+8y^2-12y-16$
si è definita una funzione $g:RR->RR$
puoi meglio lavorare su questa, no?
Ricavarti $y$ ti costringe a porre delle condizioni e studiare alcuni casi, quindi io farei
$x=4-y^2$
da cui il vincolo $V={(4-y^2,y) inRR^2:y inRR}$
Calcoliamo la funzione su questo insieme
$f(4-y^2,y)=y^3-(y^2-4)^2-12y$
$g(y):=f(4-y^2,y)=-y^4+y^3+8y^2-12y-16$
si è definita una funzione $g:RR->RR$
puoi meglio lavorare su questa, no?
"anto_zoolander":
intanto sul fatto che $y=sqrt(4-x)$ possiamo parlarne.
Ricavarti $y$ ti costringe a porre delle condizioni e studiare alcuni casi, quindi io farei
$x=4-y^2$
da cui il vincolo $V={(4-y^2,y) inRR^2:y inRR}$
Calcoliamo la funzione su questo insieme
$f(4-y^2,y)=y^3-(y^2-4)^2-12y$
$g(y):=f(4-y^2,y)=-y^4+y^3+8y^2-12y-16$
si è definita una funzione $g:RR->RR$
puoi meglio lavorare su questa, no?
a ma in questi casi posso anche lavorare su y? e non su x?
Cosa dovrebbe impedirtelo?
"anto_zoolander":
Cosa dovrebbe impedirtelo?
no pensavo fosse la regola lavorare sulla x, scusa la mia ignoranza
Ma non è un problema, anzi, se hai altre perplessità chiedi
"anto_zoolander":
Ma non è un problema, anzi, se hai altre perplessità chiedi
ok ho studiato la derivata prima rispetto a y = 0 per quanto riguarda la condizione necessario e ho trovato il punto critico
$ y = 3/4 $
dopodichè ho studiato la derivata prima rispetto a y > 0 e risulta che
$ y > 3/4 $
ora come dovrei fare, lo stesso procedimento che effettuo quando studio la x? cioè fare la retta e mettere i segni
$ + e - $?
"Stizzens":
esplicito il vincolo :
$ y = sqrt(-x+4) $
Hai dimenticato un pezzo di vincolo: $y=-\sqrt{-x+4}$.
"dissonance":
[quote="Stizzens"]esplicito il vincolo :
$ y = sqrt(-x+4) $
Hai dimenticato un pezzo di vincolo: $y=-\sqrt{-x+4}$.[/quote]
quindi sostituisco questa y con quella nell' eqauzione che pongo = 0?
non capisco allora io esplicito il vincolo e quindi:
$ y^2+x-4=0 $
diventa:
$ x = -y^2+4 $
dopo di che lo sostituisco alla funzione e quindi ho:
$ z = y^3-(-y^2+4)^2-12y $
facendo tutti gli opportuni calcoli arrivo che:
$ z = -y^4+y^3+8y^2-12y-16 $
ora faccio la derivata rispetto a y
$ zy = -4y^3+3y^2+16y-12 $
ora pongo questo valore = 0
$ -4y^3+3y^2+16y-12=0 $
facendo gli opportuni calcoli arrivo che
$ (y^2+4)(4y-3)=0 $
il primo fattore viene che è impossibile mentre il secondo viene
$ y = 3/4 $
e questo è il punto critico dopo di che il passo successivo pongo zy>0
$ -4y^3+3y^2+16y-12>0 $
facendo gli opportuni calcoli viene che
$ (y^2+4)(4y-3)>0 $
il primo fattore ha come risultato (per ogni y appartenente ad R) mentre il secondo fattore
$ y > 3/4 $
ora come devo procedere?
$ y^2+x-4=0 $
diventa:
$ x = -y^2+4 $
dopo di che lo sostituisco alla funzione e quindi ho:
$ z = y^3-(-y^2+4)^2-12y $
facendo tutti gli opportuni calcoli arrivo che:
$ z = -y^4+y^3+8y^2-12y-16 $
ora faccio la derivata rispetto a y
$ zy = -4y^3+3y^2+16y-12 $
ora pongo questo valore = 0
$ -4y^3+3y^2+16y-12=0 $
facendo gli opportuni calcoli arrivo che
$ (y^2+4)(4y-3)=0 $
il primo fattore viene che è impossibile mentre il secondo viene
$ y = 3/4 $
e questo è il punto critico dopo di che il passo successivo pongo zy>0
$ -4y^3+3y^2+16y-12>0 $
facendo gli opportuni calcoli viene che
$ (y^2+4)(4y-3)>0 $
il primo fattore ha come risultato (per ogni y appartenente ad R) mentre il secondo fattore
$ y > 3/4 $
ora come devo procedere?
Insomma, il tuo problema non sono i punti critici. Tu non hai capito le disequazioni. È là che devi recuperare perché è una cosa di base. Fatti un po' di esercizi vecchi sulle disequazioni, è roba da scuola superiore e prima settimana di università al massimo.
In questo caso, la disequazione \((y^2+4)(4y-3)>0\) che soluzioni ha? Me lo devi dire tu, mi rifiuto di risolverla io.
In questo caso, la disequazione \((y^2+4)(4y-3)>0\) che soluzioni ha? Me lo devi dire tu, mi rifiuto di risolverla io.
le ho scritte le soluzioni, io mi riferisco dopo averle trovate, perchè quando ho la x al posto della y la risolvo in un modo, ma quando ho y devo risolvere nello stesso modo?
Devi risolvere una disequazione. Che sia della \(x\) o della \(y\) è ininfluente. Hai scritto \(y>3/4\) ma che cosa significa questo? In quale intervallo la derivata \(z_y\) è positiva, e in quale è negativa?
la derivata è positiva per valori di y > 3/4 e negativa per valori <, ma ora quello che mi chiedo io è che il procedimento è uguale identico a quando risolvo con x? quindi y=3/4 è un punto di minimo relativo?
Non $y=3/4$. Il punto di minimo è $(x, y)=(-(3/4)^2 +4, 3/4)$.
A ecco allora apposto il procedimento è uguale a quando effettuo i calcoli con la x, questo volevo sapere, grazie mille
Certo che è ininfluente, perché \(x\) e \(y\) sono legate tra loro dalla relazione \(x=4-y^2\). Se avessi usato \(x\) come variabile indipendente, avresti avuto calcoli più difficili per via delle radici quadrate, ma alla fine sempre gli stessi punti critici dovevi trovare.
A me sembra che quel polinomio abbia come radice anche $y=-2,2$
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