Massimi e minimi vincolati

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, ho la funzione $f(x,y,z)=e^(xz)$ vincolata su $Gamma={(x,y,z):x^2+y^2+z^4=1}$.

Ovviamente per Weierstrass esistono massimi e minimi sulla curva. La funzione lagrangiana è $L=e^(xz)-lambda(x^2+y^2+z^4-1)$ quindi il sistema da risolvere è:

${(ze^(xz)-2lambdax=0),(2lambday=0),(xe^(xz)-4lambdaz^3=0),(x^2+y^2+z^4=1):}$

Dalla seconda equazione, se $lambda=0$ allora necessariamente (l'esponenziale non si annulla) $z=x=0$ e dall'ultima equazione $y=+-1$.

Se invece $y=0$ si ha (deve essere $lambda!=0$, $z!=0$) dalla prima e dalla terza $x^2=2z^4$ da cui $z=+-1/(root(4)(3))$ e $x=+-2/(root(4)(3))$

Cosa ne dite? Ci sono tutte le soluzioni? Ora in teoria basterebbe valutare la funzione nei punti trovati per avere massimi e minimi.

[anonymous_0b37e9]

"Gustav Wittgenstein":
... esistono massimi e minimi sulla curva ...

Si tratta di una superficie.

"Gustav Wittgenstein":
Ci sono tutte le soluzioni?

Direi proprio di sì. Del resto, esplicitando i due casi:

${(ze^(xz)-2\lambdax=0),(2\lambday=0),(xe^(xz)-4\lambdaz^3=0),(x^2+y^2+z^4=1):} rarr$

${(z ne 0 rarr e^(xz)=(2\lambdax)/z),(\lambda ne 0 rarr y=0),(x ne 0 rarr e^(xz)=(4\lambdaz^3)/x),(x^2+z^4=1):} vv {(z=0 rarr x=0),(\lambda ne 0 rarr y=0),(x=0 rarr z=0),(0=1):} rarr$

$rarr {(z ne 0 ^^ x^2=2z^4),(\lambda ne 0 rarr y=0),(x ne 0 ^^ e^(xz)=(4\lambdaz^3)/x),(3z^4=1):} rarr$

$rarr {(x=+-sqrt(2/3)),(y=0),(z=1/root(4)(3)):} vv {(x=+-sqrt(2/3)),(y=0),(z=-1/root(4)(3)):}$

Nel calcolare $x$ devi aver commesso una svista.

"Gustav Wittgenstein":
... basterebbe valutare la funzione nei punti trovati ...

Certamente.

[Gustav Wittgenstein]

Ottimo, grazie