Massimi e minimi vincolati
Devo calcolare i massimi e minimi assoluti di questa funzione $ f(x,y) = 1 - sqrt(4-16x^2-y^2)$ sul segmento della retta $ y = 4x -1 $ contenuto nel dominio. La condizione del dominio è $ 4x^2 + (y^2)/4 <= 1 $ che praticamente è un'ellisse e i punti del dominio sono i punti contenuti all'interno e nel bordo dell'ellisse. Per trovare i massimi e i minimi vincolati su quella retta ho fatto così: ho calcolato i punti di intersezione tra l'ellisse e la retta, ho fatto un sistema di questo tipo $\{(4x^2 + (y^2)/4 = 1),(y=4x-1):}$ . Da questo sistema ho ottenuto 2 punti.
Volevo chiedere: fin qui è tutto giusto? Adesso cosa devo fare per trovare i massimi e i minimi?
Dal grafico dell'intersezione tra l'ellisse e la retta, a occhio, mi sembra di capire che i due punti di intersezione sono il massimo e il minimo, a questo punto mi viene da pensare che si deve fare la restrizione della funzione $ f(x,y) = 1 - sqrt(4-16x^2-y^2)$ alla retta $ y= 4x - 1$, cioè sostituisco la y della funzione con $ 4x - 1 $, ottengo $ f(x, 4x - 1) = 1 - sqrt(5-32x^2-8x) $, a questa funzione della sola variabile x sostituisco le x che ho ottenuto poco fa dal sistema e ottengo l'immagine della funzione in quei punti, questo è corretto?
Grazie.
Volevo chiedere: fin qui è tutto giusto? Adesso cosa devo fare per trovare i massimi e i minimi?
Dal grafico dell'intersezione tra l'ellisse e la retta, a occhio, mi sembra di capire che i due punti di intersezione sono il massimo e il minimo, a questo punto mi viene da pensare che si deve fare la restrizione della funzione $ f(x,y) = 1 - sqrt(4-16x^2-y^2)$ alla retta $ y= 4x - 1$, cioè sostituisco la y della funzione con $ 4x - 1 $, ottengo $ f(x, 4x - 1) = 1 - sqrt(5-32x^2-8x) $, a questa funzione della sola variabile x sostituisco le x che ho ottenuto poco fa dal sistema e ottengo l'immagine della funzione in quei punti, questo è corretto?
Grazie.
Risposte
No. Chi ti ha detto che il massimo e il minimo cascano proprio là? Non potrebbero cadere in un punto interno al segmento? Devi studiare la funzione della \(x\) che hai trovato sul segmento \([x_1, x_2]\), dove \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\) sono le due intersezioni della retta con l'ellisse che hai trovato prima.
"dissonance":
No. Chi ti ha detto che il massimo e il minimo cascano proprio là? Non potrebbero cadere in un punto interno al segmento? Devi studiare la funzione della \(x\) che hai trovato sul segmento \([x_1, x_2]\), dove \((x_1, y_1), (x_2, y_2)\) sono le due intersezioni della retta con l'ellisse che hai trovato prima.
Cioè devo studiare il segno della derivata prima della funzione della sola variabile x che mi è uscita?
Grazie per la risposta comunque
Devi studiare la funzione. Che usi la derivata prima o un altro metodo è irrilevante.
Quindi basta che trovo i massimi e i minimi di questa funzione $ f(x, 4x - 1) = 1 - sqrt(5-32x^2-8x) $ ho risolto l'esercizio?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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