Massimi e minimi vincolati.
Ragazzi, buonasera, sono alle prese con questo esercizio ma non so se sto procedendo nel modo giusto:
Determinare massimi e minimi vincolati della funzione $ f(x,y)=x^2-9y^2+3xy $ sotto il vincolo $ g(x,y)=x^2-3y^2-1=0 $ .
Procedo iniziando con gli insiemi di definizione delle due funzioni, che essendo composte da funzioni elementari sono entrambi $ R^2 $ . Ne segue che anche le loro derivate prime e seconde saranno composte da funzioni elementari, quindi sia la f(x,y) che la g(x,y) sono almeno di classe $ C^2 $ .
Continuo col dimostrare la condizione di vincolo qualificato che prevede che il rango del gradiente del vincolo sia pari al numero di vincoli esistenti, ovvero $ R([ ( 2x ),( -6y ) ])=1 $ . Il gradiente di g(x,y) si annulla solo in (0,0), che dunque rappresenta un punto stazionario libero per la mia funzione. In qualsiasi altro punto il rango del gradiente risulta pari ad 1 quindi la condizione è verificata.
Considero poi la funzione lagrangiana: $ L(x,y,lambda )=grad f(x,y)+lambda grad g(x,y)= [ ( 2x+3y ),( -18y+3x ) ]+lambda [ ( 2x ),( -6y ) ]=[ ( 0 ),( 0 ) ] $
Imposto il sistema:
$ { ( 2x+3y+2lambdax=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):} $
da cui ottengo $ { ( 2x+3y+2lambdax-18y+3x-6y=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):}->{ ( 5x-15y+2lambdax-6lambda y=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):}->{ ( 5x+2lambdax=15y+6lambda y=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):}->{ ( x=(15y+6lambda y)/(5+2lambda ) ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):} $
Sostituisco nella terza equazione:
$ ((15y+6lambda y)/(5+2lambda ))^2-3y^2-1=0->((225y^2+36lambda ^2y^2)/(5-2lambda )^2)-3y^2-1=0 $ $ ->225y^2+36lambda ^2y^2-3y^2(5+2lambda )^2-(5+2lambda )^2=0->225y^2+36lambda ^2y^2-75y^2-12lambda ^2y^2-20lambda y^2=(5+2lambda )^2 $ $ 150y^2+24lambda ^2y^2-20lambda y^2=(5+2lambda )^2->y^2(150+24lambda ^2-20lambda )=(5+2lambda )^2 $
1°caso: se $ y^2=(5+2lambda )^2->y=5+2lambda $ e quindi $ x=((5+2lambda )(15+6lambda ))/((5+2lambda ))=15+6lambda $
Sostituisco nella seconda equazione: $ -18(5+2lambda )+3(15+6lambda )-6lambda (5+2lambda )=0->-90-36lambda +45+18lambda -30lambda -12lambda ^2=0->12lambda^2+48lambda +45=0 lambda 1,2=(-24+- sqrt(576-540) )/12->lambda 1=-5/2;lambda 2=-3/2 $
Se $ lambda 1=-5/2->x =15+6(-5/2)=0;y=5+2(-5/2)=0 $ , perciò il primo punto stazionario vincolato è (0,0,-5/2).
Se $ lambda 1=-3/2->x=15+6(-3/2)=6;y=5+2(-3/2)=2 $ , perciò il secondo punto stazionario vincolato è (6,2,-3/2).
2°caso: se $ 150+24lambda ^2-20lambda =(5+2lambda )^2->150+24lambda^2 -20lambda -25-4lambda ^2-20lambda =0 $ che genera due soluzioni non reali e dunque non accettabili per il teorema di lagrange.
Applico la condizione dell'hessiano orlato:
$ [ ( 0 , 2x , -6y ),( 2x , 2+2lambda , 3 ),( -6y , 3 , -18-6lambda ) ] $
Sostituisco i 3 punti trovati per verificare se sono minimi o massimi:
- se $ Hf(x^*)>0->x^* $ massimo vincolato
- se $ Hf(x^*)<0->x^* $ minimo vincolato
- se $ Hf(x^*)=0-> $ la condizione dell'hessiano orlato è inconclusiva.
Determinare massimi e minimi vincolati della funzione $ f(x,y)=x^2-9y^2+3xy $ sotto il vincolo $ g(x,y)=x^2-3y^2-1=0 $ .
Procedo iniziando con gli insiemi di definizione delle due funzioni, che essendo composte da funzioni elementari sono entrambi $ R^2 $ . Ne segue che anche le loro derivate prime e seconde saranno composte da funzioni elementari, quindi sia la f(x,y) che la g(x,y) sono almeno di classe $ C^2 $ .
Continuo col dimostrare la condizione di vincolo qualificato che prevede che il rango del gradiente del vincolo sia pari al numero di vincoli esistenti, ovvero $ R([ ( 2x ),( -6y ) ])=1 $ . Il gradiente di g(x,y) si annulla solo in (0,0), che dunque rappresenta un punto stazionario libero per la mia funzione. In qualsiasi altro punto il rango del gradiente risulta pari ad 1 quindi la condizione è verificata.
Considero poi la funzione lagrangiana: $ L(x,y,lambda )=grad f(x,y)+lambda grad g(x,y)= [ ( 2x+3y ),( -18y+3x ) ]+lambda [ ( 2x ),( -6y ) ]=[ ( 0 ),( 0 ) ] $
Imposto il sistema:
$ { ( 2x+3y+2lambdax=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):} $
da cui ottengo $ { ( 2x+3y+2lambdax-18y+3x-6y=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):}->{ ( 5x-15y+2lambdax-6lambda y=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):}->{ ( 5x+2lambdax=15y+6lambda y=0 ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):}->{ ( x=(15y+6lambda y)/(5+2lambda ) ),( -18y+3x-6lambday=0 ),( x^2-3y^2-1=0 ):} $
Sostituisco nella terza equazione:
$ ((15y+6lambda y)/(5+2lambda ))^2-3y^2-1=0->((225y^2+36lambda ^2y^2)/(5-2lambda )^2)-3y^2-1=0 $ $ ->225y^2+36lambda ^2y^2-3y^2(5+2lambda )^2-(5+2lambda )^2=0->225y^2+36lambda ^2y^2-75y^2-12lambda ^2y^2-20lambda y^2=(5+2lambda )^2 $ $ 150y^2+24lambda ^2y^2-20lambda y^2=(5+2lambda )^2->y^2(150+24lambda ^2-20lambda )=(5+2lambda )^2 $
1°caso: se $ y^2=(5+2lambda )^2->y=5+2lambda $ e quindi $ x=((5+2lambda )(15+6lambda ))/((5+2lambda ))=15+6lambda $
Sostituisco nella seconda equazione: $ -18(5+2lambda )+3(15+6lambda )-6lambda (5+2lambda )=0->-90-36lambda +45+18lambda -30lambda -12lambda ^2=0->12lambda^2+48lambda +45=0 lambda 1,2=(-24+- sqrt(576-540) )/12->lambda 1=-5/2;lambda 2=-3/2 $
Se $ lambda 1=-5/2->x =15+6(-5/2)=0;y=5+2(-5/2)=0 $ , perciò il primo punto stazionario vincolato è (0,0,-5/2).
Se $ lambda 1=-3/2->x=15+6(-3/2)=6;y=5+2(-3/2)=2 $ , perciò il secondo punto stazionario vincolato è (6,2,-3/2).
2°caso: se $ 150+24lambda ^2-20lambda =(5+2lambda )^2->150+24lambda^2 -20lambda -25-4lambda ^2-20lambda =0 $ che genera due soluzioni non reali e dunque non accettabili per il teorema di lagrange.
Applico la condizione dell'hessiano orlato:
$ [ ( 0 , 2x , -6y ),( 2x , 2+2lambda , 3 ),( -6y , 3 , -18-6lambda ) ] $
Sostituisco i 3 punti trovati per verificare se sono minimi o massimi:
- se $ Hf(x^*)>0->x^* $ massimo vincolato
- se $ Hf(x^*)<0->x^* $ minimo vincolato
- se $ Hf(x^*)=0-> $ la condizione dell'hessiano orlato è inconclusiva.
Risposte
Devo dedurne che sto sbagliando qualcosa.
più che star sbagliando qualcosa uno fa fatica a scorrere tutto il messaggio (ci sono un po' troppi conti) 
se vuoi sapere se il conto è giusto, la risposta è non lo so. se vuoi sapere se il procedimento è corretto posso invece dirti che quello è corretto.
se vuoi sapere se il conto è giusto, la risposta è non lo so. se vuoi sapere se il procedimento è corretto posso invece dirti che quello è corretto.
Onestamente pensavo di essere più chiaro in questo modo ma capisco che controllare ogni passaggio possa risultare pesante. Cercherò di limitare i conti la prossima volta 
Comunque due sono i dubbi che ho:
1) il punto stazionario libero come lo definisco? non posso concludere nulla in merito (massimo, minimo, sella)? devo applicare la condizione del II°ordine e, dove inconclusivo, studiare l'incremento della funzione in un intorno del punto?
2) quando dal sistema si trovano soluzioni non reali basta semplicemente affermare che per il teorema di lagrange non sono accettabili? devo limitarmi a questo?
Comunque due sono i dubbi che ho:
1) il punto stazionario libero come lo definisco? non posso concludere nulla in merito (massimo, minimo, sella)? devo applicare la condizione del II°ordine e, dove inconclusivo, studiare l'incremento della funzione in un intorno del punto?
2) quando dal sistema si trovano soluzioni non reali basta semplicemente affermare che per il teorema di lagrange non sono accettabili? devo limitarmi a questo?
Che importa degli estremi liberi, se ti chiede quelli vincolati?
gli estremi liberi li calcoli nell'interno di un insieme e qui hai solo l'equazione quindi di estremi liberi non ne hai. in generale invece se hai il problema di calcolare anche gli estremanti liberi, devi applicare il teorema di Fermat per individuare i candidati ad essere estremanti (per farlo fai il gradiente e lo annulli) e poi studi l'hessiano (il determinante di ordine due) e procedi come hai descritto.
non è che non siano accettabili per Lagrange non sono accettabili e basta, noi lavoriamo in $RR$ che è ordinato e quindi ha senso parlare di massimi e minimi mentre in $CC$ no (non è ordinato). quindi se non trovi soluzioni reali significa semplicemente che non hai estremanti.
non è che non siano accettabili per Lagrange non sono accettabili e basta, noi lavoriamo in $RR$ che è ordinato e quindi ha senso parlare di massimi e minimi mentre in $CC$ no (non è ordinato). quindi se non trovi soluzioni reali significa semplicemente che non hai estremanti.
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