Massimi e minimi vincolati

[nikap94]

Salve amanti della matematica, vorrei porvi questo esercizio, con la speranza che qualcuno mi illumini la via da seguire per risolverlo:

"Determinare (se esistono) massimi e minimi (relativi e assoluti) della funzione $ f(x,y)=x^2ye^(x^2-y) $ nel dominio definito da $ y<= x^2-1 $ "
Vi ringrazio in anticipo.

[quantunquemente]

comincia a trovare i punti che annullano le derivate parziali,ricordando il vincolo $yleqx^2-1$,e analizza l'hessiano per ognuno di essi

[nikap94]

ciao, ho trovato il gradiente della funzione, ma il fatto è che si annulla per $ x=0 $ e $ y=0 $ non trovo altri punti

[quantunquemente]

se non ho fatto male i calcoli ,si ha
$z_x=2xye^(x^2-y)[1+x^2]$
$z_y=x^2e^(x^2-y)[1-y]$

il sistema $ { ( xy=0 ),( x^2(1-y)=0 ):} $ è verificato da tutti e soli gli infiniti punti del tipo $(0,y)$

ricordando la condizione $yleqx^2-1$,mi sembra che non ci sia bisogno dell'hessiano(fortunatamente) per stabilire la natura di ogni punto stazionario, mettendosi in suo piccolo intorno circolare

[nikap94]

ok, perfetto!! rifacendo i calcoli viene anche a me così, ti ringrazio... provo a procedere

[nikap94]

Ciao, mi sono nuovamente bloccato ho fatto lo studio del segno e viene che la funzione è positiva per ogni $ y>=0 $ ho provato a fare il limite con $ x=0 $ per $ y $ che tende all'infinito ma mi incastro con i calcoli

[quantunquemente]

sicuramente esiste $a>0$ tale che per $|x| consideriamo la restrizione della funzione data a questa retta :
$g(x)=x^3e^(x^2-x)$

si ha
$ lim_(x -> +infty) g(x)=+infty $
$ lim_(x -> -infty) g(x)=-infty $

questo basta per dire che la $f(x,y)$ non ha nè max nè min assoluti

[nikap94]

perfetto, grazie!
un'ultima domanda: come si arriva a questa conclusione? cioè so che non esiste un procedimento univoco per trovare max e min, ma ogni volta di fronte a esercizi del genere mi blocco, non sapendo come iniziare a ''indagare''.