Massimi e minimi vincolati
Ciao a tutti ragazzi. Questo è un altro dei problemi di oggi.
Sia $f(x,y)=x$ determinare i massimi e minimi di $f$ con il vincolo $g(x,y)=y^2-x^3=0$
Non posso applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, perché non è verificata la condizione $(d/(dx)g(x,y))^2+(d/(dy)g(x,y))^2>0$ per ogni $(x,y)inRR^2$ infatti quanto faccio il sistema per trovare landa ricado in un assurdo.
Scrivendo l' insieme degli zeri di $g$ non ottengo nulla di utile (o almeno credo). Cosa posso fare?
Sia $f(x,y)=x$ determinare i massimi e minimi di $f$ con il vincolo $g(x,y)=y^2-x^3=0$
Non posso applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, perché non è verificata la condizione $(d/(dx)g(x,y))^2+(d/(dy)g(x,y))^2>0$ per ogni $(x,y)inRR^2$ infatti quanto faccio il sistema per trovare landa ricado in un assurdo.
Scrivendo l' insieme degli zeri di $g$ non ottengo nulla di utile (o almeno credo). Cosa posso fare?
Risposte
Puoi provare a fare un grafico.
Il vincolo è la curva \(C\) di equazione \(y^2=x^3\), ossia \(x=y^{2/3}\):
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("-sqrt(x^3)",0,6); plot("sqrt(x^3)",0,6);[/asvg]
mentre la funzione obiettivo, ossia \(f(x,y):=x\), ha come curve di livello le curve \(\Gamma(k)\) di equazione \(x=k\), \(k\in \mathbb{R}\), le quali formano un fascio (improprio) di rette parallele all'asse \(y\):
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([-4.5,2.5],[4.5,2.5]);
marker="none"; strokewidth=2;
stroke="purple"; line([-4,-6],[-4,6]);
stroke="blue"; line([-2,-6],[-2,6]);
stroke="dodgerblue"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="cyan"; line([3,-6],[3,6]);[/asvg]
le quali, al crescere del parametro \(k\), si muovono così come indicato dalla freccia in grigio (e dal colore).
Mettiamo tutto sullo stesso grafico:
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([-4.5,2.5],[4.5,2.5]);
marker="none";
stroke="red"; plot("-sqrt(x^3)",0,6); plot("sqrt(x^3)",0,6);
strokewidth=2;
stroke="purple"; line([-4,-6],[-4,6]);
stroke="blue"; line([-2,-6],[-2,6]);
stroke="dodgerblue"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="cyan"; line([3,-6],[3,6]);[/asvg]
e vediamo di trarne qualche conclusione.
Chiaramente, per \(k<0\) la curva di livello \(\Gamma(k)\) non interseca il vincolo \(C\); ciò significa che non esistono punti sul vincolo \(C\) tali che la funzione obiettivo prende il valore \(k\).
Per \(k=0\) la curva di livello \(\Gamma (0)\) interseca il vincolo in un unico punto, cioé \((0,0)\); perciò la funzione obiettivo prende il valore \(k=0\) in un unico punto del vincolo.
Invece, per \(k>0\) la curva di livello \(\Gamma (k)\) interseca il vincolo \(C\) in due punti simmetrici rispetto all'asse delle ascisse, i.e. \((k,\pm \sqrt{k^3})\); ciò equivale a dire che la funzione obiettivo prende il valore \(k\) in due punti distinti del vincolo.
Quanto appena detto implica che \(f(x,y)\geq 0=f(0,0)\) per ogni \((x,y)\in C\), quindi \(f\) è dotata di minimo su \(C\) e si ha \(\min_C f =0\). D'altro canto, il fatto che ogni valore \(k>0\) sia assunto da \(f\) in qualche punto del vincolo importa che \(\sup_C f = +\infty\), perciò \(f\) non è limitata superiormente su \(C\) (e dunque non può avere massimo).
Il vincolo è la curva \(C\) di equazione \(y^2=x^3\), ossia \(x=y^{2/3}\):
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("-sqrt(x^3)",0,6); plot("sqrt(x^3)",0,6);[/asvg]
mentre la funzione obiettivo, ossia \(f(x,y):=x\), ha come curve di livello le curve \(\Gamma(k)\) di equazione \(x=k\), \(k\in \mathbb{R}\), le quali formano un fascio (improprio) di rette parallele all'asse \(y\):
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([-4.5,2.5],[4.5,2.5]);
marker="none"; strokewidth=2;
stroke="purple"; line([-4,-6],[-4,6]);
stroke="blue"; line([-2,-6],[-2,6]);
stroke="dodgerblue"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="cyan"; line([3,-6],[3,6]);[/asvg]
le quali, al crescere del parametro \(k\), si muovono così come indicato dalla freccia in grigio (e dal colore).
Mettiamo tutto sullo stesso grafico:
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([-4.5,2.5],[4.5,2.5]);
marker="none";
stroke="red"; plot("-sqrt(x^3)",0,6); plot("sqrt(x^3)",0,6);
strokewidth=2;
stroke="purple"; line([-4,-6],[-4,6]);
stroke="blue"; line([-2,-6],[-2,6]);
stroke="dodgerblue"; line([0,-6],[0,6]);
stroke="cyan"; line([3,-6],[3,6]);[/asvg]
e vediamo di trarne qualche conclusione.
Chiaramente, per \(k<0\) la curva di livello \(\Gamma(k)\) non interseca il vincolo \(C\); ciò significa che non esistono punti sul vincolo \(C\) tali che la funzione obiettivo prende il valore \(k\).
Per \(k=0\) la curva di livello \(\Gamma (0)\) interseca il vincolo in un unico punto, cioé \((0,0)\); perciò la funzione obiettivo prende il valore \(k=0\) in un unico punto del vincolo.
Invece, per \(k>0\) la curva di livello \(\Gamma (k)\) interseca il vincolo \(C\) in due punti simmetrici rispetto all'asse delle ascisse, i.e. \((k,\pm \sqrt{k^3})\); ciò equivale a dire che la funzione obiettivo prende il valore \(k\) in due punti distinti del vincolo.
Quanto appena detto implica che \(f(x,y)\geq 0=f(0,0)\) per ogni \((x,y)\in C\), quindi \(f\) è dotata di minimo su \(C\) e si ha \(\min_C f =0\). D'altro canto, il fatto che ogni valore \(k>0\) sia assunto da \(f\) in qualche punto del vincolo importa che \(\sup_C f = +\infty\), perciò \(f\) non è limitata superiormente su \(C\) (e dunque non può avere massimo).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo