Massimi e minimi vincolati
Salve a tutti, ho alcuni problemi sulla determinazione dei massimi e minimi vincolati in un esercizio:
Determinare i massimi ed i minimi relativi della funzione
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y^{2}-1 \) essendo \(\displaystyle M={ (x,y)\in R^{2}|x^{2}+y^{2}=9} \)
Io so che in questi casi si applica il metodo dei moltiplicatori di Lagrange se viene soddisfatta la seguente ipotesi:
\(\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{2}>0
\) dove \(\displaystyle F(x,y)=x^{2}+y^{2}-9
\)
Tramite banali calcoli si vede che l'ipotesi è facilmente verificata, ottenendo \(\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{2}=4(x^{2}+y^{2})>0
\)
A questo punto posso passare alla risoluzione del sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
f_{x}-\lambda F_{x}=0\\
f_{y}-\lambda F_{y}=0\\
F(x,y)=0
\end{cases}
\)
Facendo i calcoli ottengo che il sistema è impossibile:
\(\displaystyle F_{x}=2x
\)
\(\displaystyle F_{y}=2y
\)
\(\displaystyle f_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\)
\(\displaystyle f_{y}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}2y+2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2y
\)
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda x=0\\
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2y-2\lambda y=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}=\begin{cases}
x\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda\right]=0\\
y\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2-2\lambda\right]=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
Una prima soluzione sarebbe quella in cui x=y=0, ma essa è incompatibile con il vincolo dato.
Per ciò ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda\\
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda-2\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
Questo sistema è ovviamente impossibile.
Perchè ottengo questo? Non dovrei avere problemi visto che la condizione sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange è verificata...
Vi ringrazio molto.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Determinare i massimi ed i minimi relativi della funzione
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y^{2}-1 \) essendo \(\displaystyle M={ (x,y)\in R^{2}|x^{2}+y^{2}=9} \)
Io so che in questi casi si applica il metodo dei moltiplicatori di Lagrange se viene soddisfatta la seguente ipotesi:
\(\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{2}>0
\) dove \(\displaystyle F(x,y)=x^{2}+y^{2}-9
\)
Tramite banali calcoli si vede che l'ipotesi è facilmente verificata, ottenendo \(\displaystyle \left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^{2}=4(x^{2}+y^{2})>0
\)
A questo punto posso passare alla risoluzione del sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
f_{x}-\lambda F_{x}=0\\
f_{y}-\lambda F_{y}=0\\
F(x,y)=0
\end{cases}
\)
Facendo i calcoli ottengo che il sistema è impossibile:
\(\displaystyle F_{x}=2x
\)
\(\displaystyle F_{y}=2y
\)
\(\displaystyle f_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\)
\(\displaystyle f_{y}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}2y+2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2y
\)
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda x=0\\
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2y-2\lambda y=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}=\begin{cases}
x\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda\right]=0\\
y\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2-2\lambda\right]=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
Una prima soluzione sarebbe quella in cui x=y=0, ma essa è incompatibile con il vincolo dato.
Per ciò ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda\\
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda-2\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
Questo sistema è ovviamente impossibile.
Perchè ottengo questo? Non dovrei avere problemi visto che la condizione sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange è verificata...
Vi ringrazio molto.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
aiutino:
- quando $x=0$, la prima entrata del sistema è soddisfatta, la terza ti dà $y = \pm 3$ che, se sostituita nella seconda da... non lo so, ma comunque restituisce un certo valore di $\lambda$ di cui non ci interessa affatto.
quindi abbiamo trovato già due punti $(0, \pm 3)$
poi...
prova
- quando $x=0$, la prima entrata del sistema è soddisfatta, la terza ti dà $y = \pm 3$ che, se sostituita nella seconda da... non lo so, ma comunque restituisce un certo valore di $\lambda$ di cui non ci interessa affatto.
quindi abbiamo trovato già due punti $(0, \pm 3)$
poi...
prova
Il problema è che il sistema la prima e la seconda entrata sono incompatibili tra loro, non possono essere verificate entrambe... che poi è quello che dovrebbe avvenire visto che sto considerando un sistema, sbaglio?
Te dici di valutare x=0 e poi trovare le y di conseguenza utilizzando la terza entrata; su questo posso essere d'accordo, ma resto dell'opinione che il sistema non sia corretto.
Non saprei
Te dici di valutare x=0 e poi trovare le y di conseguenza utilizzando la terza entrata; su questo posso essere d'accordo, ma resto dell'opinione che il sistema non sia corretto.
Non saprei
non capisco il problema.
il tuo sistema non è questo:
\(\displaystyle \begin{cases}
x = 0\\
y = 0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
questo sistema non ha soluzione, il tuo ce l'ha.
il punto $(x,y)=(0,3) \cup \lambda = 1/{2\sqrt9}-1$ verifica il sistema.
se non mi credi, prova ad inserirci questi valori di $x$, $y$ e $\lambda$.
il tuo sistema non è questo:
\(\displaystyle \begin{cases}
x = 0\\
y = 0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
questo sistema non ha soluzione, il tuo ce l'ha.
il punto $(x,y)=(0,3) \cup \lambda = 1/{2\sqrt9}-1$ verifica il sistema.
se non mi credi, prova ad inserirci questi valori di $x$, $y$ e $\lambda$.
Il problema è che il mio sistema è questo:
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda\\
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda-2\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
Ma non è possibile che \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) sia prima uguale a \(\displaystyle 2\lambda \) e poi a \(\displaystyle 2\lambda-2 \). Se questo fosse vero si avrebbe che:
\(\displaystyle 2\lambda=2\lambda-2\) ovvero che 0=2, il che è impossibile
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda\\
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2\lambda-2\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
Ma non è possibile che \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) sia prima uguale a \(\displaystyle 2\lambda \) e poi a \(\displaystyle 2\lambda-2 \). Se questo fosse vero si avrebbe che:
\(\displaystyle 2\lambda=2\lambda-2\) ovvero che 0=2, il che è impossibile
occhio!
il tuo sistema è questo:
\(\displaystyle \begin{cases}
x\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda\right]=0\\
y\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2-2\lambda\right]=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
dividere per $x$ la prima entrata o per $y$ la seconda è lecito... ma chiediti se non butti delle soluzioni quando lo fai!
il tuo sistema è questo:
\(\displaystyle \begin{cases}
x\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda\right]=0\\
y\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2-2\lambda\right]=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases}
\)
dividere per $x$ la prima entrata o per $y$ la seconda è lecito... ma chiediti se non butti delle soluzioni quando lo fai!
Ah, ho capito quello che dici, cioè io posso si dire che la x va a zero, ma poi non è detto che lo stesso faccia anche la y, basta ovviamente che non lo facciano tutte insieme.
Quindi alla fine dal sistema
\(\displaystyle \begin{cases}
x\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda\right]=0\\
y\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2-2\lambda\right]=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases} \)
scaturiscono i seguenti, che mi indicano i punti di massimo e di minimo relativo:
\(\displaystyle \begin{cases}
x=0\\
y\left[\frac{1}{y}-2\lambda\right]=0\\
y^{2}=9
\end{cases}=\begin{cases}
x=0\\
1-2\lambda y=0\\
y^{2}=9
\end{cases}=\begin{cases}
x=0\\
y=\frac{1}{2\lambda}\\
\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=9
\end{cases}
\)
da cui posso poi ricavare \(\displaystyle \lambda \).
In questo modo trovo due \(\displaystyle \lambda \) per il primo sistema; posso fare nuovamente la medesima operazione con il secondo sistema che imposto, questa volta imponendo che la y sia 0.
Penso sia questo quello che volevi dire, correggimi se sbaglio.
Grazie davvero, sei stato illuminante !!
Buona serata
Quindi alla fine dal sistema
\(\displaystyle \begin{cases}
x\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2\lambda\right]=0\\
y\left[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+2-2\lambda\right]=0\\
x^{2}+y^{2}=9
\end{cases} \)
scaturiscono i seguenti, che mi indicano i punti di massimo e di minimo relativo:
\(\displaystyle \begin{cases}
x=0\\
y\left[\frac{1}{y}-2\lambda\right]=0\\
y^{2}=9
\end{cases}=\begin{cases}
x=0\\
1-2\lambda y=0\\
y^{2}=9
\end{cases}=\begin{cases}
x=0\\
y=\frac{1}{2\lambda}\\
\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=9
\end{cases}
\)
da cui posso poi ricavare \(\displaystyle \lambda \).
In questo modo trovo due \(\displaystyle \lambda \) per il primo sistema; posso fare nuovamente la medesima operazione con il secondo sistema che imposto, questa volta imponendo che la y sia 0.
Penso sia questo quello che volevi dire, correggimi se sbaglio.
Grazie davvero, sei stato illuminante !!
Buona serata
yes!
attenzione però: $\sqrt y = |y|$.
non dimenticare il modulo.
comunque si. io ti ho consigliato di trovare la $y$ direttamente dalla terza equazione e poi dalla seconda ricavare $\lambda$.
con l'approccio che hai scritto invece devi per forza ricavarti $\lambda$ per trovare $y$.
è la stessa cosa. deve chiaramente venirti la stessa cosa.
la questione cruciale è che il tuo sistema è quello che ti ho indicato nel messaggio precedente e... insomma, si, hai compreso cosa io intendessi
attenzione però: $\sqrt y = |y|$.
non dimenticare il modulo.
comunque si. io ti ho consigliato di trovare la $y$ direttamente dalla terza equazione e poi dalla seconda ricavare $\lambda$.
con l'approccio che hai scritto invece devi per forza ricavarti $\lambda$ per trovare $y$.
è la stessa cosa. deve chiaramente venirti la stessa cosa.
la questione cruciale è che il tuo sistema è quello che ti ho indicato nel messaggio precedente e... insomma, si, hai compreso cosa io intendessi
Bene, ti ringrazio soprattutto per la pazienza.
Buona serata
Buona serata
Scusami ancora, ma desideravo chiederti se lo svolgimento di un esercizio fosse corretto:
\(\displaystyle f(x,y)=xy
\)
con \(\displaystyle M=\left\{ (x,y)\in R^{2}|x^{2}+y^{2}+xy=1\right\}
\)
Allora applico la condizione per l'applicabilità del metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
\(\displaystyle \left(2x+y\right)^{2}+\left(2y+x\right)^{2}=4x^{2}+y^{2}+4xy+4y^{2}+x^{2}+4xy=5x^{2}+5y^{2}+8xy=5(x^{2}+y^{2}+xy)+3xy=5+3xy>0
\), condizione verificata se \(\displaystyle xy>-\frac{5}{3}
\)
Io però sto lavorando sul dominio M in cui \(\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy=1 \), ovvero:
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}=1-xy\) e visto che (0,0) non è soluzione per il dominio M, allora posso affermare che \(\displaystyle x^{2}+y^{2}>0 \) e quindi di conseguenza anche \(\displaystyle 1-xy \) deve essere maggiore di zero.
Questo porta quindi alla condizione: \(\displaystyle xy<1 \).
Posso quindi considerare verificate le ipotesi per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange nell'intervallo J=(-5/3,1), giusto?
Pensavo quindi poi di controllare i risultati ottenuti, ovvero se il prodotto della x e della y per ogni punto che trovo è situato in J o meno.
Passo quindi alla risoluzione del sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
f_{x}-\lambda F_{x}=0\\
f_{y}-\lambda F_{y}=0\\
F(x,y)=0
\end{cases}
\)
\(\displaystyle f_{x}=y
\)
\(\displaystyle f_{y}=x
\)
\(\displaystyle F_{x}=2x+y
\)
\(\displaystyle F_{y}=2y+x
\)
\(\displaystyle \begin{cases}
y-\lambda(2x+y)=0\\
x-\lambda(2y+x)=0\\
x^{2}+y^{2}+xy=1
\end{cases}=\begin{cases}
y(1-\lambda)=2\lambda x\\
x(1-\lambda)=2\lambda y\\
x^{2}+y^{2}+xy=1
\end{cases}=\begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x(1-\lambda)=\left(\frac{4\lambda^{2}}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}+\left(\frac{4\lambda^{2}}{(1-\lambda)^{2}}\right)x^{2}+x^{2}\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)=1
\end{cases} \)
da cui ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0\\
x^{2}\left[1+\frac{4\lambda^{2}}{(1-\lambda)^{2}}+\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right]=1
\end{cases} \)
Infine:
\(\displaystyle \begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}\left[\frac{3\lambda^{2}+1}{(1-\lambda)^{2}}\right]=1\\
x(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0
\end{cases}=\begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}=\frac{(1-\lambda)^{2}}{3\lambda^{2}+1}\\
x^{2}(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0
\end{cases}=\begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}=\frac{(1-\lambda)^{2}}{3\lambda^{2}+1}\\
\frac{(1-\lambda)^{2}}{3\lambda^{2}+1}(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0
\end{cases}
\)
Risolvo quindi l'equazione associata alla terza entrata del sistema, ricavo le \(\displaystyle lambda \) e le nella prima e seconda entrata del sistema per avere i valori di x e di y.
Un \(\displaystyle lambda \) ha valore 1, che azzera sia la x che la y, e quindi l'ho eliminato come valore probabile, visto che (0,0) non soddisfa il dominio M.
Può andare bene come ragionamento?
Mi interessava soprattutto sapere se ho fatto bene riguardo all'ipotesi che giustificava l'applicabilità del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Grazie tante, davvero
Buona giornata e tanti saluti
Enrico Catanzani
\(\displaystyle f(x,y)=xy
\)
con \(\displaystyle M=\left\{ (x,y)\in R^{2}|x^{2}+y^{2}+xy=1\right\}
\)
Allora applico la condizione per l'applicabilità del metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
\(\displaystyle \left(2x+y\right)^{2}+\left(2y+x\right)^{2}=4x^{2}+y^{2}+4xy+4y^{2}+x^{2}+4xy=5x^{2}+5y^{2}+8xy=5(x^{2}+y^{2}+xy)+3xy=5+3xy>0
\), condizione verificata se \(\displaystyle xy>-\frac{5}{3}
\)
Io però sto lavorando sul dominio M in cui \(\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy=1 \), ovvero:
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}=1-xy\) e visto che (0,0) non è soluzione per il dominio M, allora posso affermare che \(\displaystyle x^{2}+y^{2}>0 \) e quindi di conseguenza anche \(\displaystyle 1-xy \) deve essere maggiore di zero.
Questo porta quindi alla condizione: \(\displaystyle xy<1 \).
Posso quindi considerare verificate le ipotesi per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange nell'intervallo J=(-5/3,1), giusto?
Pensavo quindi poi di controllare i risultati ottenuti, ovvero se il prodotto della x e della y per ogni punto che trovo è situato in J o meno.
Passo quindi alla risoluzione del sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
f_{x}-\lambda F_{x}=0\\
f_{y}-\lambda F_{y}=0\\
F(x,y)=0
\end{cases}
\)
\(\displaystyle f_{x}=y
\)
\(\displaystyle f_{y}=x
\)
\(\displaystyle F_{x}=2x+y
\)
\(\displaystyle F_{y}=2y+x
\)
\(\displaystyle \begin{cases}
y-\lambda(2x+y)=0\\
x-\lambda(2y+x)=0\\
x^{2}+y^{2}+xy=1
\end{cases}=\begin{cases}
y(1-\lambda)=2\lambda x\\
x(1-\lambda)=2\lambda y\\
x^{2}+y^{2}+xy=1
\end{cases}=\begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x(1-\lambda)=\left(\frac{4\lambda^{2}}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}+\left(\frac{4\lambda^{2}}{(1-\lambda)^{2}}\right)x^{2}+x^{2}\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)=1
\end{cases} \)
da cui ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0\\
x^{2}\left[1+\frac{4\lambda^{2}}{(1-\lambda)^{2}}+\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right]=1
\end{cases} \)
Infine:
\(\displaystyle \begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}\left[\frac{3\lambda^{2}+1}{(1-\lambda)^{2}}\right]=1\\
x(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0
\end{cases}=\begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}=\frac{(1-\lambda)^{2}}{3\lambda^{2}+1}\\
x^{2}(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0
\end{cases}=\begin{cases}
y=\left(\frac{2\lambda}{1-\lambda}\right)x\\
x^{2}=\frac{(1-\lambda)^{2}}{3\lambda^{2}+1}\\
\frac{(1-\lambda)^{2}}{3\lambda^{2}+1}(1-3\lambda^{2}-2\lambda)=0
\end{cases}
\)
Risolvo quindi l'equazione associata alla terza entrata del sistema, ricavo le \(\displaystyle lambda \) e le nella prima e seconda entrata del sistema per avere i valori di x e di y.
Un \(\displaystyle lambda \) ha valore 1, che azzera sia la x che la y, e quindi l'ho eliminato come valore probabile, visto che (0,0) non soddisfa il dominio M.
Può andare bene come ragionamento?
Mi interessava soprattutto sapere se ho fatto bene riguardo all'ipotesi che giustificava l'applicabilità del metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Grazie tante, davvero
Buona giornata e tanti saluti
Enrico Catanzani
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