Massimi e minimi su un cerchio (f in 2 variabili)
$x^2+y^2-xy$ cerchio di raggio $1$ e centro in $(0,0)$
SOluZioNe:
Devo cercare i massimi e minimi ma non riesco.
Derivate parziali:
$f_x = 2x-y$
$f_y=2y-x$
Punto critico in $(0,0)$ interno al cerchio, quindi, candidato ad essere max o min
Valuto i bordi del cerchio. Ne immagino due:
$B_1= {(x,sqrt(1-x^2)) ; -1<=x<= 1}$
$B_2= {(x,-sqrt(1-x^2)) ; -1<=x<= 1}$
Non so se ho impostato bene la soluzione...
Consigli preziosi?
Grazieeee
SOluZioNe:
Devo cercare i massimi e minimi ma non riesco.
Derivate parziali:
$f_x = 2x-y$
$f_y=2y-x$
Punto critico in $(0,0)$ interno al cerchio, quindi, candidato ad essere max o min
Valuto i bordi del cerchio. Ne immagino due:
$B_1= {(x,sqrt(1-x^2)) ; -1<=x<= 1}$
$B_2= {(x,-sqrt(1-x^2)) ; -1<=x<= 1}$
Non so se ho impostato bene la soluzione...
Consigli preziosi?
Grazieeee
Risposte
Ciao,
ma nn ti conviene usare le coordinate polari?
ma nn ti conviene usare le coordinate polari?
Ciao!
Non le ho fatte ed il libro le tratta dopo. Quindi presuppone che sappia farlo senza le coordinate polari...
Le soluzioni che fornisce il testo (alle quali non riesco ad arrivare) sono:
Minimo in $(0,0)$
Massimi in $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 )$ e $(sqrt(2)/2, - sqrt(2)/2) $
Non le ho fatte ed il libro le tratta dopo. Quindi presuppone che sappia farlo senza le coordinate polari...
Le soluzioni che fornisce il testo (alle quali non riesco ad arrivare) sono:
Minimo in $(0,0)$
Massimi in $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 )$ e $(sqrt(2)/2, - sqrt(2)/2) $
Per il punto $(0,0)$ credo non ci siano problemi.
La crf superiore ha equazione $y=sqrt(1-x^2) $ come tu stesso hai detto ; quella inferiore ha invece equazione $ y = -sqrt(1-x^2)$.
Per cercare eventuali max e min sulla crf sostituisci nella espressione della $ f(x,y)$ al posto di $y $ prima una e poi la'ltra espressione .
Otterrai così di trasformare la funzione di due variabili in una funzione a una sola variabile ; adesso procedi per trovare max e min col metodo solito usato per funzioni di una variabile.
La crf superiore ha equazione $y=sqrt(1-x^2) $ come tu stesso hai detto ; quella inferiore ha invece equazione $ y = -sqrt(1-x^2)$.
Per cercare eventuali max e min sulla crf sostituisci nella espressione della $ f(x,y)$ al posto di $y $ prima una e poi la'ltra espressione .
Otterrai così di trasformare la funzione di due variabili in una funzione a una sola variabile ; adesso procedi per trovare max e min col metodo solito usato per funzioni di una variabile.
Solo un aggiunta a quello che ha detto Cam.
L'espressione della tua funzione è quella della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz quindi la funzione è sempre positiva e le simmetrie della funzione si riflettono anche sui max e min.
L'espressione della tua funzione è quella della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz quindi la funzione è sempre positiva e le simmetrie della funzione si riflettono anche sui max e min.
Ciao CamiLLo! E' l'ho fatto... Sbagliando forse...
Per il punto $(0,0)$, invece, ho problemi... Non l'ho dimostrato cos'é... So solo che è critico per il momento.
Cmq ho fatto come hai scritto.
Ho sostituito e poi ho trovato le derivate.
$f_1^{\prime} = (2x^2-x-2)/(2sqrt(1-x^2))$
poi vedo quando si annulla ma non trovo i numeri delle soluzioni...
Ad esempio $f_1$ mi dice che ci possono essere Max in $((1-sqrt(17))/4, sqrt(1-((1-sqrt(17))/4)^2))$
Allora mi son fermato.
Per il punto $(0,0)$, invece, ho problemi... Non l'ho dimostrato cos'é... So solo che è critico per il momento.
Cmq ho fatto come hai scritto.
Ho sostituito e poi ho trovato le derivate.
$f_1^{\prime} = (2x^2-x-2)/(2sqrt(1-x^2))$
poi vedo quando si annulla ma non trovo i numeri delle soluzioni...
Ad esempio $f_1$ mi dice che ci possono essere Max in $((1-sqrt(17))/4, sqrt(1-((1-sqrt(17))/4)^2))$
Allora mi son fermato.
C'è qualche errore nei conti : una delle due funzioni viene $1-xsqrt(1-x^2)$ : se questa ti torna allora ricalcola la derivata .
Per il punto (0,0) devi usare la tecnica classica , determinante hessiano etc.
Per il punto (0,0) devi usare la tecnica classica , determinante hessiano etc.
Ok, grazie mille Camillo.
Ora riprovo.
Ok per la verifica del punto col determinante hessiano..
Ora riprovo.
Ok per la verifica del punto col determinante hessiano..
Niente, possibile che non so più fare le derivate? 
Si che son distratto, ma a me le derivate prime vengono così:
$f_1^{\prime} = (2x^2-x-2)/(2sqrt(1-x^2))$
$f_2^{\prime} = (-2x^2+x+2)/(2sqrt(1-x^2))$
si annullato per valori che non ci sono nelle soluzioni...
Si che son distratto, ma a me le derivate prime vengono così:
$f_1^{\prime} = (2x^2-x-2)/(2sqrt(1-x^2))$
$f_2^{\prime} = (-2x^2+x+2)/(2sqrt(1-x^2))$
si annullato per valori che non ci sono nelle soluzioni...
$f_(1,2)=1+-xsqrt(1-x^2)$
$f'_(1,2)=+-(1*sqrt(1-x^2)+x*(-2x)/(2sqrt(1-x^2)))=+-(1-x^2-x^2)/(sqrt(1-x^2))=+-(1-2x^2)/(sqrt(1-x^2))$
Distrattone!!!
karl
$f'_(1,2)=+-(1*sqrt(1-x^2)+x*(-2x)/(2sqrt(1-x^2)))=+-(1-x^2-x^2)/(sqrt(1-x^2))=+-(1-2x^2)/(sqrt(1-x^2))$
Distrattone!!!
karl
Miiiiiiizzica!!! 
Altro che distrattone!!!!
Sono un asinone!!!!
Non ho derivato la funzione composta... Che stupido che sono!!!!
Grazie Karl, e chiedo scusa a tutti!
Altro che distrattone!!!!
Sono un asinone!!!!
Non ho derivato la funzione composta... Che stupido che sono!!!!
Grazie Karl, e chiedo scusa a tutti!
Per chiunque volesse farlo come esercizio...
A me vengono:
Minimo in $(0,0)$
Massimi in $(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))$ e $(1/sqrt(2), -1/sqrt(2))$
Che è la stessa cosa...
Saluti e baci
"Giova411":
Le soluzioni che fornisce il testo sono:
Minimo in $(0,0)$
Massimi in $(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 )$ e $(sqrt(2)/2, - sqrt(2)/2) $
A me vengono:
Minimo in $(0,0)$
Massimi in $(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))$ e $(1/sqrt(2), -1/sqrt(2))$
Che è la stessa cosa...
Saluti e baci
Questo tipo di esercizio è carino anche perchè si possono trovare abbastanza facilmente i massimi e i minimi assoluti anche senza usare le proprietà legate alla derivata, ma solo opportune disuguaglianze (e con la conoscenza delle coordinate polari)...
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