Massimi e minimi su insiemi chiusi e limitati
Tenendo presente il teorema di Weiestrass, devo procedere così:
-cerco eventuali estremanti nell'insieme (magari già individuati prima che mi mettessi nel chiuso e limitato);
-dopo li cerco nel bordo.
Prendo il valore massimo e il valore minimo ed ho finito vero?
-cerco eventuali estremanti nell'insieme (magari già individuati prima che mi mettessi nel chiuso e limitato);
-dopo li cerco nel bordo.
Prendo il valore massimo e il valore minimo ed ho finito vero?
Risposte
Sì.
dall'incipit non si capisce bene se intendi parlare di funzioni in una o più variabili, e nemmeno se intendi per eventuali estremanti "solo" i punti stazionari.
tieni conto che ci possono essere punti "interni" in cui la funzione è continua ma non derivabile, e vanno considerati anche questi se non li hai già inseriti nelle categorie precedenti elencate da te.
ciao.
tieni conto che ci possono essere punti "interni" in cui la funzione è continua ma non derivabile, e vanno considerati anche questi se non li hai già inseriti nelle categorie precedenti elencate da te.
ciao.
Vi spiego: di solito il prof. ci da' da studiare una funzione a due variabili, ne determiniamo i punti di estremo relativo, e poi ne determiniamo i punti di estremo assoluto per la funzione nella restrizione (un insieme chiuso e limitato).
Quindi inizialmente procedo usualmente calcolandomi i punti di estremo relativo.
Quando dopo mi metto sulla restrizione, controllo se i punti di estremo relativi calcolatomi dapprima appartengono all'insieme chiuso e limitato preso in considerazione.
Quindi inizialmente procedo usualmente calcolandomi i punti di estremo relativo.
Quando dopo mi metto sulla restrizione, controllo se i punti di estremo relativi calcolatomi dapprima appartengono all'insieme chiuso e limitato preso in considerazione.
OK.
allora anche la mia risposta è sì, se appunto gli estremi relativi determinati in precedenza sono effettivamente tutti, non solo quelli in cui si annullano le derivate ma anche quelli in cui le derivate non esistono.
allora anche la mia risposta è sì, se appunto gli estremi relativi determinati in precedenza sono effettivamente tutti, non solo quelli in cui si annullano le derivate ma anche quelli in cui le derivate non esistono.
Dubbio:
se devo studiare ad esempio la restrizione di una funzione alla palla chiusa unitaria centrata nell'origine:
posso parametrizzarla ponendo $f(x, +- sqrt(1-y^2))$ oppure devo utilizzare le equazioni parametriche della circonferenza $x=x_0+rcost$ ed $y=y_0+rsent$?
se devo studiare ad esempio la restrizione di una funzione alla palla chiusa unitaria centrata nell'origine:
posso parametrizzarla ponendo $f(x, +- sqrt(1-y^2))$ oppure devo utilizzare le equazioni parametriche della circonferenza $x=x_0+rcost$ ed $y=y_0+rsent$?
a parte l'errore di scrittura ($y=+-sqrt(1-x^2)$, e poi immagino $(x_0,y_0)-=(0,0)$ ed $r=1$), penso sia "indifferente" o comunque la convenienza può dipendere da altri fattori.
ma così tu stai indicando solo il contorno, senza fare alcun riferimento alla funzione, per cui la discussione precedente rimane "sospesa"...
il dubbio qual è? solo la scelta se utilizzare equazioni cartesiane o parametriche?
ma così tu stai indicando solo il contorno, senza fare alcun riferimento alla funzione, per cui la discussione precedente rimane "sospesa"...
il dubbio qual è? solo la scelta se utilizzare equazioni cartesiane o parametriche?
Hai centrato il dubbio: se utilizzare equazioni cartesiane o parametriche. E immagini esatto per l'origine. 
Rieccomi nuovamente su questo argomento.
Allora, ho i seguenti dubbi.
Considero dapprima i punti di estremo appartenenti all'interno dell'insieme compatto. Se sono punti di estremo non appartenenti all'interno del compatto (ad es. se appartengono al derivato del compatto, oppure non appartengono per niente al compatto), posso scartare tranquillamente tali punti. Comprendo la natura di tali punti interni (e anche la natura degli eventuali punti in cui il gradiente non mi dica nulla).
Quando mi pongo nel derivato, ad es. se ho una circonferenza come bordo del compatto, devo fissare la condizione dell'intervallo in cui debba trovarsi la x vero?
Un altro dubbio: qual è il significato geometrico di $+-sqrt(1-x^2)$?
Allora, ho i seguenti dubbi.
Considero dapprima i punti di estremo appartenenti all'interno dell'insieme compatto. Se sono punti di estremo non appartenenti all'interno del compatto (ad es. se appartengono al derivato del compatto, oppure non appartengono per niente al compatto), posso scartare tranquillamente tali punti. Comprendo la natura di tali punti interni (e anche la natura degli eventuali punti in cui il gradiente non mi dica nulla).
Quando mi pongo nel derivato, ad es. se ho una circonferenza come bordo del compatto, devo fissare la condizione dell'intervallo in cui debba trovarsi la x vero?
Un altro dubbio: qual è il significato geometrico di $+-sqrt(1-x^2)$?
"Bob_inch":
...
Quando mi pongo nel derivato, ad es. se ho una circonferenza come bordo del compatto, devo fissare la condizione dell'intervallo in cui debba trovarsi la x vero? che cosa intendi, tipo studio del dominio? è ovvio che va considerato, ma forse intendi qualche altra cosa ... magari il fatto che puoi studiare una funzione ben definita anche in punti che non fanno parte del bordo, e le eventuali "soluzioni" le valuti solo dopo (se sono accettabili) ...
Un altro dubbio: qual è il significato geometrico di $+-sqrt(1-x^2)$?
anche qui, che cosa intendi realmente? $y=+-sqrt(1-x^2)$ è l'unione di due semicirconferenze con centro l'origine e raggio 1, $y=+sqrt(1-x^2)$ è "quella concava verso il basso, al di sopra dell'asse x" e $y=-sqrt(1-x^2)$ al contrario è quella concava verso l'alto che si trova nel semipiano negativo delle ordinate...
non so se sono riuscita a capire i tuoi dubbi, spero di esserti stata comunque utile. fammi sapere. ciao
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