Massimi e minimi su insieme aperto non limitato
Salve, sono nuovo in questo sito e inizio subito con una domanda riguardante un esercizio che mi è costata un esame temo per una sciocchezza che però non riesco ancora a capire: 
Il problema mi chiedeva di trovare eventuali massimi e minimi di una funzione che purtroppo non ricordo, il cui dominio è $RR^2$ escluso un qualche luogo in cui il denominatore era uguale a zero.
Non posso usare il th di weierstrass per dimostrare che esistono max e min assoluti ma ad ogni modo procedo cercando quelli relativi.
Calcolo il gradiente e scopro che è nullo in $(x-y)^2=1$ cioè su due rette parallele.
A questo punto mi sono bloccato senza sapere + come procedere. Un mio amico mi ha detto che basta calcolare l'hessiana su un punto a caso di queste rette e che questa vale per tutta la retta ma mi sembra strano.
So che senza la funzione in questione la domanda è vaga, potreste comunque darmi delle indicazioni su come procedere nei casi in cui il gradiente è nullo non su singoli punti ma su rette o altri luoghi?
Grazie in anticipo per le risposte.
Il problema mi chiedeva di trovare eventuali massimi e minimi di una funzione che purtroppo non ricordo, il cui dominio è $RR^2$ escluso un qualche luogo in cui il denominatore era uguale a zero.
Non posso usare il th di weierstrass per dimostrare che esistono max e min assoluti ma ad ogni modo procedo cercando quelli relativi.
Calcolo il gradiente e scopro che è nullo in $(x-y)^2=1$ cioè su due rette parallele.
A questo punto mi sono bloccato senza sapere + come procedere. Un mio amico mi ha detto che basta calcolare l'hessiana su un punto a caso di queste rette e che questa vale per tutta la retta ma mi sembra strano.
So che senza la funzione in questione la domanda è vaga, potreste comunque darmi delle indicazioni su come procedere nei casi in cui il gradiente è nullo non su singoli punti ma su rette o altri luoghi?
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Se il dominio della funzione che hai risulta aperto allora gli estremi assoluti, se ci sono, devono essere punti critici. Quindi vanno studiati i punti critici che hai trovato, per esempio con l'Hessiana.
Va però anche controllato il comportamento della funzione al bordo del dominio, in quanto potrebbe esplodere a $+\infty$ o a $-\infty$ e quindi non avere estremi assoluti.
Va però anche controllato il comportamento della funzione al bordo del dominio, in quanto potrebbe esplodere a $+\infty$ o a $-\infty$ e quindi non avere estremi assoluti.
Immaginavo di essermi spigato male. Il problema è che non ho dei punti critici singoli ma due rette lungo le quali il gradiente è nullo. In questo caso come posso procedere per studiarli? Sempre con l'hessiana?
Non ti ricordi il problema? Per niente?
Si, puoi procedere sempre con l'Hessiana.....concettualmente non cambia molto rispetto a quando si hanno punti critici singoli....
Allora, ti calcoli il gradiente, risolvi il sistema e ti recuperi le equazioni delle rette...a questo punto scrivi la matrice Hessiana generale e verifichi cosa succede lungo le due rette,sicuramente avrai un determinante nullo, allora procedi e ti trovi l'equazione caratteristica generale della matrice e da essa recuperi le due equazioni generali degli autovalori.....una volta che hai in mano le due equazioni generali degli autovalori studi i loro segni, e guardi le rette (formate dai punti critici) in che zona si trovano, in modo da capire se stanno in una zona in cui l'Hessiano è semidefinito positivo o negativo..
Ammetto che detta così sembra un po' confusa.... penso ad un esempio che faccia al caso tuo e lo posto!
Allora, ti calcoli il gradiente, risolvi il sistema e ti recuperi le equazioni delle rette...a questo punto scrivi la matrice Hessiana generale e verifichi cosa succede lungo le due rette,sicuramente avrai un determinante nullo, allora procedi e ti trovi l'equazione caratteristica generale della matrice e da essa recuperi le due equazioni generali degli autovalori.....una volta che hai in mano le due equazioni generali degli autovalori studi i loro segni, e guardi le rette (formate dai punti critici) in che zona si trovano, in modo da capire se stanno in una zona in cui l'Hessiano è semidefinito positivo o negativo..
Ammetto che detta così sembra un po' confusa.... penso ad un esempio che faccia al caso tuo e lo posto!
Eccomi, questo dovrebbe andar bene....
$f(x,y)=(x-y)^4-18(x-y)^2$
calcoliamo il gradiente che sarà:
$\nablaf(x,y)=(4(x-y)^3-36(x-y), -4(x-y)^3+36(x-y))$
i punti critici risolveranno il sistema:
$\{(4(x-y)[(x-y)^2-9]=0), (-4(x-y)[(x-y)^2-9]=0):}$
dunque le soluzioni del sistema sono tutti i punti appartenenti alle equazioni delle rette:
$x=y$, $x-y=3$ e $x-y=-3$
A questo punto la matrice Hessiana generale sarà:
$Hf(x,y)=|(12(x-y)^2-36, -(12(x-y)^2-36)), (-(12(x-y)^2-36), 12(x-y)^2-36)|$
è immediato vedere che l'Hessiano è ovunque nullo...
analiziamo gli autovalori...prima cosa dobbiamo scriverci l'equazione caratteristica....
$\lambda^2-2\lambda(12(x-y)^2-36)=0$
le equazioni generali degli autovalori saranno:
$\lambda_1=0$ e $\lambda_2=24(x-y)^2-72$ quest'ultima semplificando diventa $\lambda_2=(x-y)^2-3$
Ora andiamo a studiarci cosa succede negli intorni
I) $(x-y)^2>3$ ossia $x-y<-sqrt3$ e $x-y>sqrt3$ abbiamo che l'Hessiano è semidefinito positivo
II) $(x-y)^2<3$ ossia $-sqrt3
CONCLUSIONI:
1) la retta $x=y$ si trova nella zona in cui l'Hessiano è semidefinito negativo, perciò saranno punti di massimo locale per $f$.
2) le rette $x-y=3$ e $x-y=-3$ si trovano nella zona in cui l'Hessiano è semidefinito positivo, perciò saranno punti di minimo locale per $f$.
Spero di esserti stato di aiuto.....
$f(x,y)=(x-y)^4-18(x-y)^2$
calcoliamo il gradiente che sarà:
$\nablaf(x,y)=(4(x-y)^3-36(x-y), -4(x-y)^3+36(x-y))$
i punti critici risolveranno il sistema:
$\{(4(x-y)[(x-y)^2-9]=0), (-4(x-y)[(x-y)^2-9]=0):}$
dunque le soluzioni del sistema sono tutti i punti appartenenti alle equazioni delle rette:
$x=y$, $x-y=3$ e $x-y=-3$
A questo punto la matrice Hessiana generale sarà:
$Hf(x,y)=|(12(x-y)^2-36, -(12(x-y)^2-36)), (-(12(x-y)^2-36), 12(x-y)^2-36)|$
è immediato vedere che l'Hessiano è ovunque nullo...
analiziamo gli autovalori...prima cosa dobbiamo scriverci l'equazione caratteristica....
$\lambda^2-2\lambda(12(x-y)^2-36)=0$
le equazioni generali degli autovalori saranno:
$\lambda_1=0$ e $\lambda_2=24(x-y)^2-72$ quest'ultima semplificando diventa $\lambda_2=(x-y)^2-3$
Ora andiamo a studiarci cosa succede negli intorni
I) $(x-y)^2>3$ ossia $x-y<-sqrt3$ e $x-y>sqrt3$ abbiamo che l'Hessiano è semidefinito positivo
II) $(x-y)^2<3$ ossia $-sqrt3
CONCLUSIONI:
1) la retta $x=y$ si trova nella zona in cui l'Hessiano è semidefinito negativo, perciò saranno punti di massimo locale per $f$.
2) le rette $x-y=3$ e $x-y=-3$ si trovano nella zona in cui l'Hessiano è semidefinito positivo, perciò saranno punti di minimo locale per $f$.
Spero di esserti stato di aiuto.....
"Alexp":
Eccomi, questo dovrebbe andar bene....
$f(x,y)=(x-y)^4-18(x-y)^2$
Io porrei per prima cosa
$x - y = z$ .
Alexp ha voluto mostrare apposta quella strada per far vedere come studiare i puti critici che formano un continuo.
"fraced":
Io porrei per prima cosa
$x-y=z$
"Luca.Lussardi":
Alexp ha voluto mostrare apposta quella strada per far vedere come studiare i puti critici che formano un continuo.
Si esatto, ho pensato appositamente ad un esempio del genere per venire in contro alla problematica di "mikelovskij"
Grazie mille, mi siete stati di grande aiuto 
"Luca.Lussardi":
Alexp ha voluto mostrare apposta quella strada per far vedere come studiare i puti critici che formano un continuo.
Ok
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