Massimi e minimi su $f(x,y)$
Avrei bisogno di un chiarimento circa una questione sul calcolo dei massimi e minimi relativi della funzione
\[
f(x,y)=x^2(x^2+2y)-y(x^2-y)+1
\]
Io mi sono calcolato il gradiente della funzione e l'ho posto uguale a zero, come:
\[
\nabla f(x,y)=0 \Rightarrow
\begin{equation}
\begin{cases}
4x^3+2xy=0 \\
x^2+2y=0
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow P(0,0)
\]
Il determinante dell'Hessiana nel punto $P(0,0)$ però mi viene uguale a zero, quindi non potrei dire a colpo d'occhio cosa tale punto sia.
Come faccio a svolgere ulteriori indagini a questo punto, per vedere se magari tale punto sia un minimo o massimo?
\[
f(x,y)=x^2(x^2+2y)-y(x^2-y)+1
\]
Io mi sono calcolato il gradiente della funzione e l'ho posto uguale a zero, come:
\[
\nabla f(x,y)=0 \Rightarrow
\begin{equation}
\begin{cases}
4x^3+2xy=0 \\
x^2+2y=0
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow P(0,0)
\]
Il determinante dell'Hessiana nel punto $P(0,0)$ però mi viene uguale a zero, quindi non potrei dire a colpo d'occhio cosa tale punto sia.
Come faccio a svolgere ulteriori indagini a questo punto, per vedere se magari tale punto sia un minimo o massimo?
Risposte
"frons79":
Avrei bisogno di un chiarimento circa una questione sul calcolo dei massimi e minimi relativi della funzione
\[
f(x,y)=x^2(x^2+2y)-y(x^2-y)+1
\]
Io mi sono calcolato il gradiente della funzione e l'ho posto uguale a zero, come:
\[
\nabla f(x,y)=0 \Rightarrow
\begin{equation}
\begin{cases}
4x^3+2xy=0 \\
x^2+2y=0
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow P(0,0)
\]
Il determinante dell'Hessiana nel punto $P(0,0)$ però mi viene uguale a zero, quindi non potrei dire a colpo d'occhio cosa tale punto sia.
Come faccio a svolgere ulteriori indagini a questo punto, per vedere se magari tale punto sia un minimo o massimo?
Non ho controllato i tuoi calcoli, comunque (a parte alcune altre condizioni sufficienti che si potrebbero testare) per stabilire la natura del punto critico in questo caso devi valutare il segno della funzione
$$
g(x,y):=f(x,y)-f(0,0)
$$
negli intorni di $(0,0)$; se $g$ cambia segno in ogni intorno di $(0,0)$ allora $(0,0)$ è un punto di colle (=sella) per $f$, se invece $g$ ha segno costante in almeno un intorno di $(0,0)$ allora $(0,0)$ è un punto di estremo relativo per $f$...
"alessio76":
[quote="frons79"]Avrei bisogno di un chiarimento circa una questione sul calcolo dei massimi e minimi relativi della funzione
\[
f(x,y)=x^2(x^2+2y)-y(x^2-y)+1
\]
Io mi sono calcolato il gradiente della funzione e l'ho posto uguale a zero, come:
\[
\nabla f(x,y)=0 \Rightarrow
\begin{equation}
\begin{cases}
4x^3+2xy=0 \\
x^2+2y=0
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow P(0,0)
\]
Il determinante dell'Hessiana nel punto $P(0,0)$ però mi viene uguale a zero, quindi non potrei dire a colpo d'occhio cosa tale punto sia.
Come faccio a svolgere ulteriori indagini a questo punto, per vedere se magari tale punto sia un minimo o massimo?
Non ho controllato i tuoi calcoli, comunque (a parte alcune altre condizioni sufficienti che si potrebbero testare) per stabilire la natura del punto critico in questo caso devi valutare il segno della funzione
$$
g(x,y):=f(x,y)-f(0,0)
$$
negli intorni di $(0,0)$; se $g$ cambia segno in ogni intorno di $(0,0)$ allora $(0,0)$ è un punto di colle (=sella) per $f$, se invece $g$ ha segno costante in almeno un intorno di $(0,0)$ allora $(0,0)$ è un punto di estremo relativo per $f$...[/quote]
$g(x,y)=f(x,y)-f(0,0) \ge 0 \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2-\{(0,0) \}$
Quindi $P(0,0)$ è un punto di minimo relativo (anzi, assoluto a questo punto) per f(x,y), è corretto?
"frons79":
[quote="alessio76"][quote="frons79"]Avrei bisogno di un chiarimento circa una questione sul calcolo dei massimi e minimi relativi della funzione
\[
f(x,y)=x^2(x^2+2y)-y(x^2-y)+1
\]
Io mi sono calcolato il gradiente della funzione e l'ho posto uguale a zero, come:
\[
\nabla f(x,y)=0 \Rightarrow
\begin{equation}
\begin{cases}
4x^3+2xy=0 \\
x^2+2y=0
\end{cases}
\end{equation}
\Rightarrow P(0,0)
\]
Il determinante dell'Hessiana nel punto $P(0,0)$ però mi viene uguale a zero, quindi non potrei dire a colpo d'occhio cosa tale punto sia.
Come faccio a svolgere ulteriori indagini a questo punto, per vedere se magari tale punto sia un minimo o massimo?
Non ho controllato i tuoi calcoli, comunque (a parte alcune altre condizioni sufficienti che si potrebbero testare) per stabilire la natura del punto critico in questo caso devi valutare il segno della funzione
$$
g(x,y):=f(x,y)-f(0,0)
$$
negli intorni di $(0,0)$; se $g$ cambia segno in ogni intorno di $(0,0)$ allora $(0,0)$ è un punto di colle (=sella) per $f$, se invece $g$ ha segno costante in almeno un intorno di $(0,0)$ allora $(0,0)$ è un punto di estremo relativo per $f$...[/quote]
$g(x,y)=f(x,y)-f(0,0) \ge 0 \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2-\{(0,0) \}$
Quindi $P(0,0)$ è un punto di minimo relativo (anzi, assoluto a questo punto) per f(x,y), è corretto?[/quote]
Non ho fatto i conti e tu non li riporti, e non mi è del tutto chiaro perché escludi l'origine (hai il $\geq$..), ma sì $(0,0)$ punto di minimo assoluto...
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