Massimi e minimi (relativi) in due variabili

[mistake89]

Ho svolto questo esercizio ma volevo avere un parere sulla risoluzione

Determinare massimi e minimi relativi della funzione $f(x,y)=x|y|(1-x-y)$.

Le derivate parziali valgono: $f_x=|y|(1-2x-y)$, $f_y=x(y/(|y|) (1-x-y)-|y|)$
Ovviamente lungo la retta $y=0$ la funzione non è derivabile.

Il gradiente della $f$ si annulla nei punti $(0,1)$ e $(-2,1)$.
Calcolando le derivate seconde si ha che:
$f_(xx)=-2|y|$, $f_(yy)=-2xy/(|y|)$ e $f_(xy)=y/(|y|) (1--2x-y) -|y|$

L'hessiano nei punti critici vale nel primo caso $-1$ e nel secondo $-17$, sono entrambi allora punti di sella.

Resta da verificare il comportamento lungo l'asse $x$, lungo il quale l'applicazione è costante. Vale per la precisione $0$.

Studiando la positività della funzione si ha che essa è positiva quando $\{(x>0),(y<1-x):}$ oppure $\{(x<0),(y>1-x):}$.
Si ha allora che:
$(-infty,0)$ è una retta di massimi relativi
$(0,1)$ è una retta di minimi relativi
$(1,infty)$ è una retta di massimi relativi
mentre i punti $(1,0),(0,0)$ sono di sella.

Sperando di aver svolto i calcoli correttamente, è giusto o mi sono incartato?
Grazie mille ed un saluto a tutti

[luluemicia]

ciao,
la deriv. parz. rispetto a $x$ non si annulla in $(-2,1)$

[mistake89]

Già, hai ragione. Correggerò i calcoli, ma in realtà la parte che mi interessa di più è quella che riguarda l'asse $x$.

Grazie, vado a fare i calcoli giusti

[mistake89]

Ho rifatto i calcoli, il punto critico dovrebbe essere $(1/3,1/3)$, l'hessiano in tale punto vale $1/3$, ha autovalori positivi e quindi è un punto di massimo relativo.

[luluemicia]

ciao,
sull'asse x è ok (attento però al "linguaggio": chiami rette le semirette o i segmenti....)

[mistake89]

Hai ragione, hai fatto bene a puntualizzare, scrivendo di fretta mi è scappato.

Grazie mille per le correzioni.