Massimi e Minimi Relativi Funzioni 2 variabili

[M.C.D.1]

Ragazzi sto provando a svolgere il seguente esercizio, e volevo chiedere a voi se il procedimento e' corretto:

Si calcolino i punti di massimo e minimo relativo della seguente funzione:

$ f(x,y) = x^4 -4x^2y + y^(2) $

Ho Calcolato le derivate parziali ed ho Notato che Si Annullano contemporaneamente in $(0,0)$

Ho calcolato le derivate seconde ed il determinante Hessiano e quest'ultimo e' nullo in $(0,0)$

A Questo punto Ho Considerato le due curve $y = x $ e $y = x^2 $ ed ho calcolato dapprima

$ f(x,x) = x^(4) -4x^(3) + x^(2) $ tale funzione ha un minimo per $x = 0$

$ f(x,x^2) = x^(4) -4x^(4) + x^(4) = -2x^4 $ tale funzione ha un Massimo in $x = 0$

Pertanto $(0,0)$ non è ne un punto di massimo ne di minimo
E' Giusto come procedimento?

[ciampax]

Diciamo di sì, anche se in realtà dovresti concludere qualcosa di più. Io direi che ti conviene fare così. Puoi scrivere

$f(x,y)=x^4-4x^2 y+y^2=(x^4-4x^2+4y^2)^2-4y^2+y^2=(x^2-2y)^2-3y^2=$
$=(x^2-(2+\sqrt{3})y)(x^2-(2-sqrt{3})y)$

Da questa forma puoi dedurre che la funzione, in un intorno dell'origine, passa da valori positivi a valori negativi quando si passa da una all'altra parabola $y=x^2/{2\pm\sqrt{3}}$ e questo vuol dire che l'origine è un punto...?