Massimi e minimi (relativi ed assoluti) per funzione di 2 variabili
Buongiorno ragazzi,
Mi viene chiesto di trovare i punti di massimo e minimo, sia relativi che assoluti, per la seguente funzione in 2 variabili:
\(\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3- \frac{3}{2} x^2-3y \)
Non ho avuto grosse difficoltà a trovare i punti di max e min (e di sella) con lo studio classico tramite la matrice hessiana.
In particolare, ho trovato che la funzione ammette:
- \(\displaystyle (0,-1) \) punto di max
- \(\displaystyle (1,1) \) punto di min
- \(\displaystyle (0,1) \) e \(\displaystyle (1,-1) \) punti di sella
La difficoltà sopraggiunge quando devo stabilire se i punti sono di min, max assoluto. Intanto, devo valutarli nel dominio naturale della funzione? Mi verrebbe da dire che la funzione non è limitata, pertanto non ammette massimi e minimi assoluti
Mi viene chiesto di trovare i punti di massimo e minimo, sia relativi che assoluti, per la seguente funzione in 2 variabili:
\(\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3- \frac{3}{2} x^2-3y \)
Non ho avuto grosse difficoltà a trovare i punti di max e min (e di sella) con lo studio classico tramite la matrice hessiana.
In particolare, ho trovato che la funzione ammette:
- \(\displaystyle (0,-1) \) punto di max
- \(\displaystyle (1,1) \) punto di min
- \(\displaystyle (0,1) \) e \(\displaystyle (1,-1) \) punti di sella
La difficoltà sopraggiunge quando devo stabilire se i punti sono di min, max assoluto. Intanto, devo valutarli nel dominio naturale della funzione? Mi verrebbe da dire che la funzione non è limitata, pertanto non ammette massimi e minimi assoluti
Risposte
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Può andare così?
La funzione va considerata nel suo dominio naturale e non limitatamente ad un particolare sottoinsieme di esso. La funzione risulta non limitata, e pertanto priva di massimi e minimi assoluti: considerando, ad esempio, la restrizione alla retta \(\displaystyle x=0 \), si ha: \(\displaystyle f(0,y)= y^3-3y \), che non è limitata né inferiormente né superiormente
La funzione va considerata nel suo dominio naturale e non limitatamente ad un particolare sottoinsieme di esso. La funzione risulta non limitata, e pertanto priva di massimi e minimi assoluti: considerando, ad esempio, la restrizione alla retta \(\displaystyle x=0 \), si ha: \(\displaystyle f(0,y)= y^3-3y \), che non è limitata né inferiormente né superiormente
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Mi sono aiutato trovando anche degli esempi in rete ma non mi è molto chiaro quello che ho scritto. Perchè, con lo stesso ragionamento, potrei dire che anche la funzione \(\displaystyle x^2+y^2 \), limitata alla retta \(\displaystyle x=0 \), si ha: \(\displaystyle f(0,y)=y^2 \), che non è limitata nè inferiormente nè superiormente. Mentre, invece, so che la funzione indicata ha un minimo assoluto in \(\displaystyle (0,0) \)
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Ok, grazie mille di tutto!
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