Massimi e minimi relativi e assoluti
Ciao ragazzi,vi chiedo aiuto per il calcolo di massimi e minimi relativi e assoluti della seguente funzione:
$f(x,y)=x^2-y^2+3xy+2y$.
Quelli assoluti vanno calcolati nella restrizione $T$, con $T={(x,y)\in R^2 : y \geq x^2, x \geq y^2}.$
Svolgimento. Per quanto riguarda gli estremi relativi,ho trovato(mediante lo studio delle derivate) il punto $(-6/13,4/13)$ che si è dimostrato essere un punto di sella grazie allo studio dell'Hessiana nel punto. Per quanto riguarda invece gli estremi assoluti,come devo comportarmi con quel vincolo?
$f(x,y)=x^2-y^2+3xy+2y$.
Quelli assoluti vanno calcolati nella restrizione $T$, con $T={(x,y)\in R^2 : y \geq x^2, x \geq y^2}.$
Svolgimento. Per quanto riguarda gli estremi relativi,ho trovato(mediante lo studio delle derivate) il punto $(-6/13,4/13)$ che si è dimostrato essere un punto di sella grazie allo studio dell'Hessiana nel punto. Per quanto riguarda invece gli estremi assoluti,come devo comportarmi con quel vincolo?
Risposte
prova a controllare cosa succede lungo la frontiera
ovvero quando $y=x^2$ e $x=y^2$? Invece per quanto riguarda la prima parte,ho svolto correttamente?
ilpunto che hai indicato annulla il gradiente, l'hessiana non l'ho fatta.
non so bene come procedere.. qualche schizzo di procedimento sarebbe ben accetto
Ciao,
per esempio, quando $y=x^2$ la tua funzione diventa:
$f(x,x^2)=g(x) = x^2-x^4+3x^3+2x^2$
che è una funzione di una sola variabile e puoi studiare con la derivata prima etc.
Tieni conto che in $T$ si ha $0 \leq x \leq 1$
per esempio, quando $y=x^2$ la tua funzione diventa:
$f(x,x^2)=g(x) = x^2-x^4+3x^3+2x^2$
che è una funzione di una sola variabile e puoi studiare con la derivata prima etc.
Tieni conto che in $T$ si ha $0 \leq x \leq 1$
Controllo la frontiera e non la parte interna perché quest'ultima l'ho già studiata con l'hessiana giusto? Saresti così gentile da dirmi tutti i Casi che vengono fuori dalle due disequazioni o è solo quello che hai indicato tu?
Ti mando il disegno (accio) che mi sono fatto per rappresentare T
Poi ti studi la funzione che ti ritrovi ponendo $x=y^2$ ed eventualmente calcoli il valore assunto dalla funzione nei punti $(0,0)$ e $(1,1)$
P.S. per i punti interni, si hai già risolto con lo studio precedente, non essendoci punti interni a T che annullano il gradiente
Poi ti studi la funzione che ti ritrovi ponendo $x=y^2$ ed eventualmente calcoli il valore assunto dalla funzione nei punti $(0,0)$ e $(1,1)$
P.S. per i punti interni, si hai già risolto con lo studio precedente, non essendoci punti interni a T che annullano il gradiente
Il disegno che hai fatto è logicamente perfetto. Avrei alcune domande.. Calcolare il valore della f ponendo $x=y^2$ equivale a porre $y=x^2$ o devo valutare entrambi i casi? Inoltre,come hai trovato i due punti che mi hai indicato?
Edit: allora,ho posto $y = x^2$ e ho trovato la nuova funzione $f(x,x^2) = 3x^2-x^4+3x^3$. Ho ricavato da quest'ultima la derivata prima che risulta essere $(df)/dx=x(-4x^2+9x+6)$. A questo punto,ho ricercato i punti critici in cui la derivata si annulli,che sono ovviamente $x=0$ e,risolvendo la semplice equazione di secondo grado, $ x_1 = 9/8 + sqrt(177)/8, x_2=9/8 - sqrt(177)/8$.
Adesso ho studiato il segno della derivata prima ponendo tali punti critici maggiori di zero. Per $x>0$ si ottiene una parabola con concavità verso l'alto,dunque $x=0$ si candida a punto di minimo. Ponendo invece $-4x^2+9x+6>0$ ho trovato che i valori della derivata positiva si hanno quando $9/8 - sqrt(177)/8 < x < 9/8 + sqrt(177)/8$. Tracciando uno schizzo grazie a questa soluzione,ho trovato una parabola con concavità verso il basso. In quest'ultimo caso,chi si candida a punto di massimo? e come devo procedere per concludere l'esercizio?
Edit: allora,ho posto $y = x^2$ e ho trovato la nuova funzione $f(x,x^2) = 3x^2-x^4+3x^3$. Ho ricavato da quest'ultima la derivata prima che risulta essere $(df)/dx=x(-4x^2+9x+6)$. A questo punto,ho ricercato i punti critici in cui la derivata si annulli,che sono ovviamente $x=0$ e,risolvendo la semplice equazione di secondo grado, $ x_1 = 9/8 + sqrt(177)/8, x_2=9/8 - sqrt(177)/8$.
Adesso ho studiato il segno della derivata prima ponendo tali punti critici maggiori di zero. Per $x>0$ si ottiene una parabola con concavità verso l'alto,dunque $x=0$ si candida a punto di minimo. Ponendo invece $-4x^2+9x+6>0$ ho trovato che i valori della derivata positiva si hanno quando $9/8 - sqrt(177)/8 < x < 9/8 + sqrt(177)/8$. Tracciando uno schizzo grazie a questa soluzione,ho trovato una parabola con concavità verso il basso. In quest'ultimo caso,chi si candida a punto di massimo? e come devo procedere per concludere l'esercizio?
Innanzi tutto ti dico che devi studiare i casi $y=x^2$ e $x=y^2$ separatamente, non mi pare che la funzione abbia simmetrie che ti permettano di dedurre il comportamento sulle due curve studiando un caso solo. Per tornare al caso svolto, hai trovato i punti in cui la derivata di $f(x,x^2)$ si annulla. Bene. Se ne studi il segno complessivo ti accorgi che essa è positiva per $x<(9-sqrt(177))/8$ e per $01$). Non essendoci punti stazionari interni all'intervallo citato, puoi concludere che $x=0$ è candidato a essere punto di minimo, e che $x=1$ è candidato a punto di massimo. Poiché la funzione è a due variabili, i punti sarebbero $(0,0)$ e $(1,1)$. Per poter concludere in maniera definitiva devi vedere come si comporta la funzione $f$ sulla curva $x=y^2$ anche perché lungo la stessa potrebbero esserci anche punti interni.
Ok perfetto hai spiegato in maniera impeccabile. Un'ultima cosa,come hai trovato l'intervallo $[0,1]$ cui appartiene la $x$?
Ho ricavato l'intervallo in questione dall'intersezione delle due parabole $y=x^2$ e $x=y^2$ come si può notare dal disegno. Pertanto quando studierai il caso $x=y^2$, dovrai tenere conto che $y \in [0,1]$
Grazie mille Ziben! In questi giorni proverò a concludere e posterò il tutto! Gentilissimo
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