Massimi e minimi relativi di una funzione a più variabili
Salve, volevo un'informazione: se ho la seguente funzione in tre variabili x, y e z $ (x-1)^2y^2 +xz -4xy +xyz $ e voglio trovare i minimi e massimi dovrò fare il sistema delle derivate prime e trovare i punti stazionari. In questo caso ottengo $ (0, 0, 0) $ e $ (-1, -1, -4) $, giusto?!
Ora come posso andare avanti per capire di che natura sono? Ho provato a fare l'Hessiana ma non riesco.
E per quanto riguarda i minori della matrice? Come si procede una volta calcolati?
Grazie.
Ora come posso andare avanti per capire di che natura sono? Ho provato a fare l'Hessiana ma non riesco.
E per quanto riguarda i minori della matrice? Come si procede una volta calcolati?
Grazie.
Risposte
Grazie per la risposta! Facendo la matrice calcolata in $ (0, 0, 0) $ otterrò \[ H f (x,\,y,\,z) := \begin{pmatrix} {0} & {-4} & {1} \\ {-4} & {2} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ \end{pmatrix} \]
con il seguente polinomio caratteristico: $ - lambda ^3 +2lambda ^2 +17lambda -2=0 $
Ora?
Inoltre non riesco a capire come definire un punto stazionario massimo minimo o sella attraverso i minori della matrice (se è possibile...) senza trovare gli autovalori della matrice.
Perdonatemi!
con il seguente polinomio caratteristico: $ - lambda ^3 +2lambda ^2 +17lambda -2=0 $
Ora?
Inoltre non riesco a capire come definire un punto stazionario massimo minimo o sella attraverso i minori della matrice (se è possibile...) senza trovare gli autovalori della matrice.
Perdonatemi!
Ok, grazie mille!
Ok, grazie mille! Vediamo se ho capito:
Devo considerare la matrice \( H_1 := \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \) che ha il \( det=0 \) ; \( H_2 := \begin{pmatrix} 0 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{pmatrix} \) che ha il \( det=-16 \) e la matrice \( H_3 := \begin{pmatrix} 0 & - 4 & 1 \\ - 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) che ha il \( det=-2\).
Quindi: \( \small \det(H_1) \ge 0 \) (verificato); \( \small \det(H_2) \ge 0 \) (NON verificato) e \( \small \det(H_3) \ge 0 \) (NON verificato);
invece: \( \small (-1)^1\det(H_1) \ge 0 \) (verificato); \( \small (-1)^2\det(H_2) \ge 0 \) ( NON verificato); \( \small (-1)^3\det(H_3) \ge 0 \) (verificato).
Un'ultima cosa.. Per trovare i max e min assoluti di una funzione a più variabili in tutto \( \mathbb{R}^3 \) ad esempio, come posso fare?
Devo considerare la matrice \( H_1 := \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} \) che ha il \( det=0 \) ; \( H_2 := \begin{pmatrix} 0 & - 4 \\ - 4 & 2 \end{pmatrix} \) che ha il \( det=-16 \) e la matrice \( H_3 := \begin{pmatrix} 0 & - 4 & 1 \\ - 4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) che ha il \( det=-2\).
Quindi: \( \small \det(H_1) \ge 0 \) (verificato); \( \small \det(H_2) \ge 0 \) (NON verificato) e \( \small \det(H_3) \ge 0 \) (NON verificato);
invece: \( \small (-1)^1\det(H_1) \ge 0 \) (verificato); \( \small (-1)^2\det(H_2) \ge 0 \) ( NON verificato); \( \small (-1)^3\det(H_3) \ge 0 \) (verificato).
Un'ultima cosa.. Per trovare i max e min assoluti di una funzione a più variabili in tutto \( \mathbb{R}^3 \) ad esempio, come posso fare?
Grazie mille dell'aiuto Tem! Veramente!
Ti chiedo troppo se mi fai un vero e proprio esempio con una funzione a tuo piacere in \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) non limitato?
Diciamo che non mi è molto chiaro...
Ti chiedo troppo se mi fai un vero e proprio esempio con una funzione a tuo piacere in \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) non limitato?
Diciamo che non mi è molto chiaro...
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