Massimi e minimi relativi

[starsuper]

Ciao ragazzi, ho iniziato da poco con il corso di Analisi II e ho un po' di dubbi sugli esercizi..
Vorrei trovare mass e min di
$f(x)=x^4+y^4$
trovo i punti stazionari (0,0) e tramite Hessiana vedo che ho $det(H(Po))=0$, quindi in questo caso devo rifarmi alla fuzione graficamente... ma che significa?

Il fatto è che non riesco a plottare questa funzione graficamente...

Una mano, o una linea guida/suggerimento per capire qualcosa in piu? Dalle soluzioni so che il nostro $Po=(0,0)$ è un minimo relativo

grazie mille

[Seneca1]

In questo caso è semplicissimo. $f(x,y) = x^4 + y^4 >= 0$ , $\forall (x,y) \in RR^2$ e $f(0,0) = 0$. Quindi...

[starsuper]

Ok ho capito, ma perche relativo e no assoluto ? "palrando tra amici" direi che 0 è il minimo valore che puo assumere la funzione quindi perche minimo relativo e non assoluto?

[ludwigZero]

"Seneca":In questo caso è semplicissimo. $f(x,y) = x^4 + y^4 >= 0$ , $\forall (x,y) \in RR^2$ e $f(0,0) = 0$. Quindi...

si potrebbe anche dire che si prende il disco con centro $(0,0)$ e raggio $r$ per ogni $(x,y)$ di $D((0,0),r)$

però anche a me è venuta la domanda: perchè è minimo relativo e non assoluto?

[previ91]

"starsuper":in questo caso devo rifarmi alla fuzione graficamente... ma che significa?

Il fatto è che non riesco a plottare questa funzione graficamente...

Una mano, o una linea guida/suggerimento per capire qualcosa in piu? Dalle soluzioni so che il nostro $Po=(0,0)$ è un minimo relativo

grazie mille

Non farti confondere dal fatto che devi "rifarti graficamente" ... in questo caso si , è vero , ma devi studiare l'incremento $f(x,y)-f(0,0)>=0 -> f(x,y)>=0$.

Per l'altra domanda non sono sicuro nemmeno io e quindi mi butto ma al tempo stesso chiedo a voi : può essere che sia minimo relativo poicheè questo è un problema di ottimizzazione libera non soggetta a nessun vincolo ?

[Plepp]

"ludwigZero":
si potrebbe anche dire che si prende il disco con centro $(0,0)$ e raggio $r$ per ogni $(x,y)$ di $D((0,0),r)$

però anche a me è venuta la domanda: perchè è minimo relativo e non assoluto?

Qual'è la definizione di minimo relativo/assoluto?

[previ91]

Scusa se ti rispondo io ma voglio capire meglio

$x_0$ è massimo e minimo se esiste un intorno $U$ in cui vale $f(x_0)>= <= f(x)$ per ogni x $\in U$

Mentre assoluti quando si verifica sempre. per ogni x.

[Plepp]

Benissimo. Quindi è lecito dire che $(0,0)$ è un minimo relativo? Ed è lecito dire che è un minimo assoluto? La risposta me l'hai già data insomma

[ludwigZero]

E' solo di min relativo in quanto se non lo fosse ci dovrebbe essere un altra coppia $(x,y)$ tale che $f(x,y)
scusa la risposta leggermente contorta, non saprei al momento spiegarla meglio

[starsuper]

e invece secondo me è anche asooluto, perche la funzione essendo sempre positiva ha come valore minimo o 0, perche se x=-10 e y=-50, ottengo sempre un valore maggiore di zero.. ! Giusto ?

[ludwigZero]

è come se:
$f(-10,-50)>0$
domanda intuitiva: quale coppia $(x,y)$ mi rende minima tale applicazione:
$f(x,y)$ di $RR^2$ definito in valori di $RR$?
sarebbe:
1) un numero 'piccolo' a piacere (-1,-48...) ma ciò è impossibile perchè la funzione è assunta positiva.
2) quota più bassa della funzione è $z=0$, provo e vedo che è l'unico valore che $f(x_0,y_0) < f(x,y)$ per qualunque altra coppia di $(x,y)$

sarebbe stato assoluto, credo, se ci fosse stata una seconda coppia $(x,y)$ tale che la mia funzione di partenza avrebbe avuto la minima quota plausibile, ovvero $z=0$

spiegato con i piedi, ma credo che il messaggio si possa capire xD

[Plepp]

"ludwigZero":E' solo di min relativo in quanto se non lo fosse ci dovrebbe essere un altra coppia $(x,y)$ tale che $f(x,y)
scusa la risposta leggermente contorta, non saprei al momento spiegarla meglio

???

@starsuper: Certo. Ricapitolando, così cerchiamo di chiarire la faccenda, valgono le seguenti

DEFINIZIONE 1 (punto di minimo relativo) Data la solita $f:\Omega\subseteq RR^N\to RR$ e $\mathbf{x}_0\in \Omega$, si dice che $\mathbf{x}_0$ è punto di minimo assoluto (debole) per $f$ se $\exists U$ intorno di $\mathbf{x}_0$ tale che, $\forall \mathbf{x}\in U$, si abbia che $f(\mathbf{x}) \ge f(\mathbf{x}_0)$.

DEFINIZIONE 2 (punto di minimo assoluto) Dati $f$ e $\mathbf{x}_0$ come sopra, si dice che $\mathbf{x}_0$ è punto di minimo assoluto (debole) per $f$ se $\forall \mathbf{x}\in \Omega$ si ha che $f(\mathbf{x}) \ge f(\mathbf{x}_0)$.

Sostituendo $\ge$ con $>$ si ottiene la definizione di minimo relativo/assoluto forte (ma non ci interessa); "girando" i segni delle disequazioni abbiamo le definizioni di massimo locale e assoluto.

Dunque, dati $f(x,y)=x^2+y^2$ e $O(0,0)$, possiamo dire che $O$ è un minimo relativo e che $O$ è un minimo assoluto?

EDIT:

"ludwigZero":sarebbe stato assoluto, credo, se ci fosse stata una seconda coppia (x,y) tale che la mia funzione di partenza avrebbe avuto la minima quota plausibile, ovvero z=0

E perchè mai? Guarda le definizioni.

"Dimostriamo" che $O$ è minimo realtivo per $f$: ci basta prendere (per esempio) $U=B_r (O)$, con $r>0$ qualsiasi.
"Dimostriamo" che $O$ è minimo assoluto per $f$: vabbè, non c'è nulla da dimostrare...$x^2+y^2\ge 0$ $\forall (x,y)\in RR^2=\Omega$.

EDIT$_2$: ops! Ho sbagliato funzione vabè, il ragionamento è identico.