Massimi e Minimi Relativi.
Ragazzi vorrei proporre un esercizio che mi è spuntato all'ultimo esame di analisi matematica 2.
f(x,y)= $|x+y|e^{x+y} $
durante il compito ho svolto l'esercizio considerando t=x+y
qualcuno potrebbe continuarlo? vorrei vedere se risulta come l'ho svolto io in aula..
f(x,y)= $|x+y|e^{x+y} $
durante il compito ho svolto l'esercizio considerando t=x+y
qualcuno potrebbe continuarlo? vorrei vedere se risulta come l'ho svolto io in aula..
Risposte
E' molto meglio, e più conforme allo spirito del forum, che sia tu a postare il tuo svolgimento e poi lasci che gli altri utenti lo correggano.
Solo una nota: anch'io avrei iniziato col porre [tex]$t=x+y$[/tex]!
allora mi vengono come soluzioni t=o come punto di minimo relativo e t=-1 come punto di massimo relativo.
ovvero ottengo che il luogo dei punti di equazione y= -x-1 è un luogo di massimi mentre la retta y=-x è un luogo di minimi relativi.
dubbio. il punto P=(0,0) è punto di sella?
ovvero ottengo che il luogo dei punti di equazione y= -x-1 è un luogo di massimi mentre la retta y=-x è un luogo di minimi relativi.
dubbio. il punto P=(0,0) è punto di sella?
Mi sembra di no! Ti risulta di minimo: perché ti sorge questo dubbio?
confrontandomi dopo il compito oggi a molti spuntava l'origine come sella. tu che soluzioni ottieni?
Non mi sono cimentato coi conti!
La mia intuizione grafica si sposa con quella descritta in wikipedia:
L'unico modo certo è studiare l'hessiano in [tex]$(0;0)$[/tex]!
La mia intuizione grafica si sposa con quella descritta in wikipedia:
Nel caso n = 2, il grafico della funzione ha una forma intorno a P che ricorda la sella di un cavallo. In particolare, esistono due rette passanti per P, tali che la restrizione di f su queste è rispettivamente un minimo ed un massimo relativo.e non mi risulta che tali affermazioni siano false!
L'unico modo certo è studiare l'hessiano in [tex]$(0;0)$[/tex]!
quindi potrebbe benissimo essere un punto di sella una volta fatti i conti..
Certo, l'ultima parola la lascio ai conti; 
io ho solo parlato di una mia intuizione non matematicamente verificata. 
io ho solo parlato di una mia intuizione non matematicamente verificata.
lascia stare la sostituzione dividi il modulo in due funzione distinte:
x+y>=0-->(x+y)e^(x+y)
x+y<0--->(-x-y)e^x+y
sai inoltre che la funzione è sempre posiitiva (modulo ed esponenziale)
poi fai le derivate parziali e come soluzioni che annulano il gradiente trovi y=-x-1 (tutta una retta)..
e f non ha massimo ne minimo assoluti, ha un max relativo su quella retta
x+y>=0-->(x+y)e^(x+y)
x+y<0--->(-x-y)e^x+y
sai inoltre che la funzione è sempre posiitiva (modulo ed esponenziale)
poi fai le derivate parziali e come soluzioni che annulano il gradiente trovi y=-x-1 (tutta una retta)..
e f non ha massimo ne minimo assoluti, ha un max relativo su quella retta
Perché e.g. [tex]$(1;-1)$[/tex] non è un punto in cui la funzione ha valore 0; ovvero di minimo?
no, in quel punto il gradiente non si annulla l equazione y=-x (esempio il tuo punto) e il luogo dei punti dove x+y cambia segno..fai le der parziali e controlla..
df/dx=e^(x+y)+(x+y)e^(x+y)
df/dy=e^(x+y)+(x+y)e^(x+y)
se inserisci il tuo punto -1,1 il primo esponenziale non si annula mentre il secondo si..
df/dx=e^(x+y)+(x+y)e^(x+y)
df/dy=e^(x+y)+(x+y)e^(x+y)
se inserisci il tuo punto -1,1 il primo esponenziale non si annula mentre il secondo si..
Ma no keroro, il tuo svolgimento mi pare errato. Chi ti ha detto che $f$ è una funzione derivabile? Molto probabilmente ci saranno problemi di derivabilità nei punti che annullano il valore assoluto. "Dividi la funzione in due e fai le derivate" è un OTTIMO sistema per sbagliare.
Poi, per favore, usa MathML per scrivere le formule.
Poi, per favore, usa MathML per scrivere le formule.
f è sicuramente derivabile in tutto r2 tranne nei punti della retta y=-x dove si annulla il modulo e la funzione vale 0,spezzare il modulo è uno dei migliori metodi x spezzare le funzioni e non avere piu il modulo.
Cmq il risultato è gusto visyo k l ho controllato con grapher...
Cmq il risultato è gusto visyo k l ho controllato con grapher...
Si, il risultato è giusto, ne sono convinto. Anche il metodo in ultima analisi è quello però non trovo corretto lo svolgimento: prima di partire con conti a macchinetta, è sempre opportuno fare considerazioni sul tipo di problema in questione e sulla presenza di eventuali singolarità. Nel nostro caso io avrei detto:
(è assegnata la funzione $f(x, y)=|x+y|e^{x+y}$) La funzione data ha una retta di punti singolari: ${y=-x}$; in tutti gli altri punti si esprime come
$f(x, y)={((x+y)e^{x+y}, x+y>0), (-(x+y)e^{x+y}, x+y<0):}$
quindi in questi punti è derivabile e le derivate valgono (eccetera). Il resto è più o meno come lo hai svolto tu.
__________
Se non si segue, almeno mentalmente, uno schema del genere si va incontro ad errori anche marchiani. Ecco un esempio: "dimostro" che $f: x\in RR \mapsto |x|$ non ha minimo. Svolgimento:
spezzando in due l'espressione di $f$, otteniamo $f(x)={(x, x>=0) , (-x, x<0):}$: derivando vediamo che $f'(x)!=0$ quindi $f$ non ha punti critici e quindi nemmeno punti di minimo.
Dov'è l'errore?
(è assegnata la funzione $f(x, y)=|x+y|e^{x+y}$) La funzione data ha una retta di punti singolari: ${y=-x}$; in tutti gli altri punti si esprime come
$f(x, y)={((x+y)e^{x+y}, x+y>0), (-(x+y)e^{x+y}, x+y<0):}$
quindi in questi punti è derivabile e le derivate valgono (eccetera). Il resto è più o meno come lo hai svolto tu.
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Se non si segue, almeno mentalmente, uno schema del genere si va incontro ad errori anche marchiani. Ecco un esempio: "dimostro" che $f: x\in RR \mapsto |x|$ non ha minimo. Svolgimento:
spezzando in due l'espressione di $f$, otteniamo $f(x)={(x, x>=0) , (-x, x<0):}$: derivando vediamo che $f'(x)!=0$ quindi $f$ non ha punti critici e quindi nemmeno punti di minimo.
Dov'è l'errore?
SI ok ovvio che poi come disse il buon lagrange i punti di max e min vanno cercati in 3 tipi di punti:
-frontiera(che in questo caso non c'e)
-gradiente=0 ovvero retta y=-x-1
-punti dove f non è differenziabile (retta y=-x)
-frontiera(che in questo caso non c'e)
-gradiente=0 ovvero retta y=-x-1
-punti dove f non è differenziabile (retta y=-x)
Preceduto dal buon Dissonance : stavo per postare tutto il conto!
: stavo per postare tutto il conto!
in definitiva scritta la funzione "spezzata"
ottengo:
la retta y=-1-x come luogo di massimi e la retta y=-x come luogo di minimi?
ditemi se è giusto..
ottengo:
la retta y=-1-x come luogo di massimi e la retta y=-x come luogo di minimi?
ditemi se è giusto..
Sì, però la seconda retta è un luogo di punti angolosi in cui la funzione assume valore minimo 0!
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