Massimi e minimi locali in 2 variabili, capire se esistono massimi/minimi assoluti
Premetto che ho cercato sul forum una risposta al quesito ma non sono riuscito a trovare una spiegazione esaustiva che facesse al caso mio, vi chiedo scusa in partenza per l'aver aperto un nuovo topic, spero possiate aiutarmi!
Ho degli esercizi con una funzione in 2 variabili in cui è chiesto di studiare i massimi/minimi locali e dire anche se esistono massimi e minimi assoluti.
Nell'esercizio che ho fatto poco fa ho la seguente funzione:
$f(x, y) = -5x^2 +4xy -y^2 -2x$
Calcolo le derivate parziali:
$f'_x = -10x +4y -2$
$f'_y = 4x -2y$
Le pongo uguali a zero a sistema e trovo il punto per cui si annullano, ovvero $(-1, -2)$.
Calcolo le derivate miste e vedo che il determinante della matrice hessiana vale $4$, che è $> 0$ e siccome $f'_text{xx} = -10 < 0$ ho un punto di massimo locale.
Ora si arriva al dunque. Per prima cosa io solitamente cerco di capire se ci possono essere dei punti per cui la funzione è maggiore che nel punto $(-1, -2)$, calcolo il valore della funzione in quel punto e trovo che vale $1$. A questo punto provando qualche valore di $x$ e $y$ sembro notare che al crescere di $x$ e $y$ la funzione tende ad avere valori sempre minori di $1$. A questo punto mi verrebbe da dire che il punto è di massimo assoluto, Wolfram Alpha mi dà ragione e mi dice che $(-1, -2)$ è punto di massimo assoluto. Nel compito potrei anche scrivere che il punto è di massimo assoluto azzardando, ma il professore mi ha fatto capire che non se ne fa nulla se non lo giustifico in qualche modo.
Le mie domande sono:
- C'è una qualche strategia (o un insieme di strategie) per poter dimostrare che il punto in questione è di massimo globale?
- Se avessi trovato un punto, chiamiamolo $(x_0, y_0)$ per cui $f(x_0, y_0) > f(-1, -2)$ avrei potuto escludere che il punto $(-1, -2)$ fosse di massimo assoluto, ma avrei potuto fare qualche assunzione sull'esistenza/non esistenza di altri punti di massimo, eventualmente assoluti?
Ho degli esercizi con una funzione in 2 variabili in cui è chiesto di studiare i massimi/minimi locali e dire anche se esistono massimi e minimi assoluti.
Nell'esercizio che ho fatto poco fa ho la seguente funzione:
$f(x, y) = -5x^2 +4xy -y^2 -2x$
Calcolo le derivate parziali:
$f'_x = -10x +4y -2$
$f'_y = 4x -2y$
Le pongo uguali a zero a sistema e trovo il punto per cui si annullano, ovvero $(-1, -2)$.
Calcolo le derivate miste e vedo che il determinante della matrice hessiana vale $4$, che è $> 0$ e siccome $f'_text{xx} = -10 < 0$ ho un punto di massimo locale.
Ora si arriva al dunque. Per prima cosa io solitamente cerco di capire se ci possono essere dei punti per cui la funzione è maggiore che nel punto $(-1, -2)$, calcolo il valore della funzione in quel punto e trovo che vale $1$. A questo punto provando qualche valore di $x$ e $y$ sembro notare che al crescere di $x$ e $y$ la funzione tende ad avere valori sempre minori di $1$. A questo punto mi verrebbe da dire che il punto è di massimo assoluto, Wolfram Alpha mi dà ragione e mi dice che $(-1, -2)$ è punto di massimo assoluto. Nel compito potrei anche scrivere che il punto è di massimo assoluto azzardando, ma il professore mi ha fatto capire che non se ne fa nulla se non lo giustifico in qualche modo.
Le mie domande sono:
- C'è una qualche strategia (o un insieme di strategie) per poter dimostrare che il punto in questione è di massimo globale?
- Se avessi trovato un punto, chiamiamolo $(x_0, y_0)$ per cui $f(x_0, y_0) > f(-1, -2)$ avrei potuto escludere che il punto $(-1, -2)$ fosse di massimo assoluto, ma avrei potuto fare qualche assunzione sull'esistenza/non esistenza di altri punti di massimo, eventualmente assoluti?
Risposte
In questo caso la funzione è concava (in quanto la sua matrice hessiana è semidefinita negativa in ogni punto); di conseguenza, tutti i punti dove si annulla il gradiente (in questo caso uno solo) sono punti di massimo assoluto.
Grazie per aver risposto ma sinceramente non mi sei stato molto d'aiuto 
più che altro perché non saprei comunque come giustificare la risposta e non è un ragionamento che credo di poter applicare anche in altri casi 
più che altro perché non saprei comunque come giustificare la risposta e non è un ragionamento che credo di poter applicare anche in altri casi
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