Massimi e minimi limiti
Non riesco a risolvere questi esercizi sui massimi e minimi limiti delle successioni:
a) $n^(1/2)-[n^(1/2)]$ (di questa solo il massimo limite)
Dove la parte fra parentesi quadre indica la parte intera.
b) $((n!)/2^(n))*sin(n(p/2))
p indica il pigreco ma non so come si fa
a) $n^(1/2)-[n^(1/2)]$ (di questa solo il massimo limite)
Dove la parte fra parentesi quadre indica la parte intera.
b) $((n!)/2^(n))*sin(n(p/2))
p indica il pigreco ma non so come si fa
Risposte
"klarence":
Non riesco a risolvere questi esercizi sui massimi e minimi limiti delle successioni:
a) $n-[n]$ (di questa solo il massimo limite)
Dove la parte fra parentesi quadre indica la parte intera.
Secondo te cosa rappresenta la differenza $n-[n]$?
Pensa ad i numeri reali in forma decimale e vedrai che ti apparirà tutto chiaro: saprai dire subito chi sono il massimo ed il minimo limite di questa successione.
"klarence":
b) $((n!)/2^(n))*sin(n(p/2))
p indica il pigreco ma non so come si fa
$pi$=pi.
Ricorda che si può provare il seguente risultato: se $(a_n),(b_n)$ sono successioni reali, $(b_n)$ è limitata ed $a_n rarr a in RR^+cup {+oo}$ allora $"maxlim" a_n*b_n=a*"maxlim" b_n$ e $"minlim" a_n*b_n=a*"minlim" b_n$.
Nel tuo caso prendi $a_n=(n!)/(2^n)$ e $b_n="sin"((n pi)/2)$ e ragiona un po'.
Grazie, mi era sfuggita quella parte teorica.
Per il secondo limite è tutto chiaro.
Per il primo lo so che il max limite è 1, ma non riesco a trovare un modo per dimostrarlo....
qualche idea?
Per il primo lo so che il max limite è 1, ma non riesco a trovare un modo per dimostrarlo....
qualche idea?
Ehm, quale è la parte intera di un numero naturale?
Ti era già stato fatto notare, un po' di striscio...
Ti era già stato fatto notare, un po' di striscio...
"Fioravante Patrone":
Ehm, quale è la parte intera di un numero naturale?
Ti era già stato fatto notare, un po' di striscio...
auhauhahu hai pefettamente ragione, ecco perchè mi dicevate che era scontato.
al posto di scrivere $[n^(1/2)]$ ho scritto $[n]$ e al posto di $n^(1/2)$ ho scritto $n$
Correggo subito.
edit
ora va meglio 
Quindi hai la radice ennesima di n meno la sua parte intera.
Ovviamente sta fra 0 e 1. Il problema è di vedere se il maxlim è proprio 1 o è più piccolo.
A occhio cosa ti sembra che succeda? Io soffermerei la mia attenzione sui numeri che sono quadrati perfetti o loro vicini.
Quindi hai la radice ennesima di n meno la sua parte intera.
Ovviamente sta fra 0 e 1. Il problema è di vedere se il maxlim è proprio 1 o è più piccolo.
A occhio cosa ti sembra che succeda? Io soffermerei la mia attenzione sui numeri che sono quadrati perfetti o loro vicini.
"Fioravante Patrone":
ora va meglio
Quindi hai la radice ennesima di n meno la sua parte intera.
Ovviamente sta fra 0 e 1. Il problema è di vedere se il maxlim è proprio 1 o è più piccolo.
A occhio cosa ti sembra che succeda? Io soffermerei la mia attenzione sui numeri che sono quadrati perfetti o loro vicini.
Vedo intuitivamente che il max lim , quando un numero diventa sempre più grande e poco più piccolo di un quadrato perfetto, si avvicina sempre più ad uno, ma senza mai arrivarci. Il problema è che non riesco a dare una ''dimostrazione'' che non si soffermi al livello intuitivo.
Considera:
$\sqrt{n^2 - 1} - [\sqrt{n^2 - 1}]$
E' $[\sqrt{n^2 - 1}] = n -1$
Quindi
$\sqrt{n^2 - 1} - [\sqrt{n^2 - 1}] = \sqrt{n^2 - 1} - (n - 1) = \sqrt{n^2 - 1} - n + 1$
Ma $\sqrt{n^2 - 1} - n$ tende a zero, come si vede con "trucchi" standard (srazionalizzando).
Quindi il lim di questa sottosuccessione estratta è 1
s.e.o.
$\sqrt{n^2 - 1} - [\sqrt{n^2 - 1}]$
E' $[\sqrt{n^2 - 1}] = n -1$
Quindi
$\sqrt{n^2 - 1} - [\sqrt{n^2 - 1}] = \sqrt{n^2 - 1} - (n - 1) = \sqrt{n^2 - 1} - n + 1$
Ma $\sqrt{n^2 - 1} - n$ tende a zero, come si vede con "trucchi" standard (srazionalizzando).
Quindi il lim di questa sottosuccessione estratta è 1
s.e.o.
"Fioravante Patrone":
[...] come si vede con "trucchi" standard (srazionalizzando) [...]
srazionalizzando!
(Io dico derazionalizzando, ma è comunque bruttissimo.)
"Fioravante Petrone":
s.e.o.
Che significa? Conosco q.e.d. e pure c.v.d., ma s.e.o. non l'avevo mai visto prima...
"gugo82":
[quote="Fioravante Patrone"][...] come si vede con "trucchi" standard (srazionalizzando) [...]
srazionalizzando!
(Io dico derazionalizzando, ma è comunque bruttissimo.)
"Fioravante Petrone":
s.e.o.
Che significa? Conosco q.e.d. e pure c.v.d., ma s.e.o. non l'avevo mai visto prima...[/quote]
1. mi piace dire "srazionalizzando" per vari motivi:
- è bruttissimo
- è una presa in giro degli obblighi razionalizzanti che turbano l'adolescenza di molti giovani
- i neologismi mi piacciono, soprattutto se hanno un vago sentore "onomatopeico" o se sono anche un piccolo gioco di parole (vedi "ekon", oppure il metodo "urang-utang©", o questo qui)
2. s.e.o. vuol dire "salvo errori od omissioni". Insomma, non proprio un "cvd"... Perché lo metto? Non solo mi capita di sbagliare, ma essendo un forum magari non dedico il tempo che dedicherei alla verifica di ciò che scrivo per una pubblicazione scientifica. Per giunta più invecchio più aumentano i miei problemi coi calcoli... Quindi un disclaimer mi sembra opportuno, di quando in quando.
"Fioravante Patrone":
[quote="gugo82"][quote="Fioravante Patrone"][...] come si vede con "trucchi" standard (srazionalizzando) [...]
srazionalizzando!
(Io dico derazionalizzando, ma è comunque bruttissimo.)
"Fioravante Petrone":
s.e.o.
Che significa? Conosco q.e.d. e pure c.v.d., ma s.e.o. non l'avevo mai visto prima...[/quote]
1. mi piace dire "srazionalizzando" per vari motivi:
- è bruttissimo
- è una presa in giro degli obblighi razionalizzanti che turbano l'adolescenza di molti giovani
- i neologismi mi piacciono, soprattutto se hanno un vago sentore "onomatopeico" o se sono anche un piccolo gioco di parole (vedi "ekon", oppure il metodo "urang-utang©", o questo qui)[/quote]
OK, "urang-utang©" l'ho trovato in un post seppellito nei meandri del foro:
"Fioravante Petrone parecchio tempo fa":3dkhh9hs:
in realtà il nome urang-utang© non indica specificamente un metodo
designa tutte quelle metodologie avventurose per la soluzione di un problema dato, che utilizzano passaggi arditi, privi di una giustificazione formale
ma "ekon" ancora mi sfugge.
"Fioravante Patrone":
2. s.e.o. vuol dire "salvo errori od omissioni". Insomma, non proprio un "cvd"... Perché lo metto? Non solo mi capita di sbagliare, ma essendo un forum magari non dedico il tempo che dedicherei alla verifica di ciò che scrivo per una pubblicazione scientifica. Per giunta più invecchio più aumentano i miei problemi coi calcoli... Quindi un disclaimer mi sembra opportuno, di quando in quando.
Insomma s.e.o. è un c.v.d. quasi ovunque.
P.S.: Klarence, l'esercizio di verificare che $maxlim sqrt(n) -[sqrt(n)]=1$ l'ho fatto anche io al primo anno di università, per Analisi I. Dato che avevamo un professore ritenuto da tutti cattivissimo (prof. L. Nappi, non so se qualcuno di Napoli lo conosce), io fui l'unico a portargli la soluzione e ne parlai con lui nel suo studio: fortunatamente era corretta, altrimenti... non sarei qui a raccontarlo!
Comunque è vero che il prof. era severo, ma è stato il docente che più di tutti mi ha insegnato a formalizzare correttamente il mio pensiero matematico. Gliene sono ancora molto grato.
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