Massimi e minimi in due variabili vincolati da due funzioni
Ciao!
Non riesco a risovere questo esercizio:
"Determinare gli eventuali massimi e minimi assoluti di $ f(x,y): x^4 + 3x^4 + 4x^2y^2 + xy $ in A: $ {(x,y): |x| + |y| ≤ 1, y ≥ 1} $
Il mio problema è nell'analisi dei punti sulla frontiera. Essendo due le funzioni non so come comportarmi.
Grazie mille!
Non riesco a risovere questo esercizio:
"Determinare gli eventuali massimi e minimi assoluti di $ f(x,y): x^4 + 3x^4 + 4x^2y^2 + xy $ in A: $ {(x,y): |x| + |y| ≤ 1, y ≥ 1} $
Il mio problema è nell'analisi dei punti sulla frontiera. Essendo due le funzioni non so come comportarmi.
Grazie mille!
Risposte
Se deve essere $y>=1$ allora puoi levare il valore assoluto da y, e poi fai un disegno del dominio e vedi qual è la frontiera
"VittoXyz":
...
Il mio problema è nell'analisi dei punti sulla frontiera. Essendo due le funzioni non so come comportarmi.
...
E' un normale problema di ottimizzazione vincolata, con vincoli di disuguaglianza.
Un metodo generale di risoluzione è offerto dal teorema di Kuhn e Tucker, di fatto una generalizzazione di Lagrange al caso dei vincoli di disuguaglianza
"TeM":
Ciao VittoXyz, innanzitutto ben iscritto.
...
seguendo passo-passo l'algoritmo qui esposto.
...
P.S.: a valle di tutto ciò, credo sia evidente che la posizione \(y \ge 1\) non ci azzecchi molto con l'eser-
cizio, dato che in tale caso \(D\) risulterebbe essere un insieme vuoto e quindi cadrebbe tutto in difetto.
Mi associo al benvenuto, e suggerisco anch'io di dare una lettura al link indicato da TeM.
Una precisazione, i vincoli sono dati da disuguaglianze deboli ($\le$, $\ge$). Per cui, in realtà, il "vincolo" come assegnato contiene esattamente un punto, quello di coordinate $(0,1)$. Non escluderei che il problema fosse proprio assegnato apposta... Se il testo riportato da VittoXyz è corretto, ovvio che quel punto è l'unico punto di max e anche l'unico punto di min per quella funzione.
Grazie per la risposta!
Ho ricontrollato il testo dell'esercizio ed era giusto: $ y ≥ 1 $
A questo punto, come dice Fioravante, l'unico punto dell'insieme D è $ (0,1) $
E' volontario da parte del professore, dato che ho cercato un altro paio di esercizi e quasi sempre il dominio è definito da un solo punto.
Per procedere io sostituirei $ (0,1) $ nell'Hessiana della funzione di partenza per capire che comportamento ha la funzione. è corretto?
Ho ricontrollato il testo dell'esercizio ed era giusto: $ y ≥ 1 $
A questo punto, come dice Fioravante, l'unico punto dell'insieme D è $ (0,1) $
E' volontario da parte del professore, dato che ho cercato un altro paio di esercizi e quasi sempre il dominio è definito da un solo punto.
Per procedere io sostituirei $ (0,1) $ nell'Hessiana della funzione di partenza per capire che comportamento ha la funzione. è corretto?
Per procedere io sostituirei (0,1) nell'Hessiana della funzione di partenza per capire che comportamento ha la funzione. è corretto?
E' volontario da parte del professore, dato che ho cercato un altro paio di esercizi e quasi sempre il dominio è definito da un solo punto.Qualcuno gli dovrebbe spiegare della poca (nessuna) utilità di simili esercizi, però se l'obiettivo è far riflettere un po' lo studente su cosa sta facendo prima di applicare algoritmi a manetta, allora sono molto utili.
Buongiorno! 
Scusate se disturbo ancora,
Ma quindi la conclusione dell'esercizio qual'è? Che $ (0,1) $ è sia un punto di massimo che di minimo della funzione nel dominio? Ha senso dire così?
Scusate se disturbo ancora,
Ma quindi la conclusione dell'esercizio qual'è? Che $ (0,1) $ è sia un punto di massimo che di minimo della funzione nel dominio? Ha senso dire così?
Grazie mille Tem,
ora è molto più chiaro!
ora è molto più chiaro!
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