Massimi e minimi in due variabili su disco

[cortex96]

Data $ f (x, y)= xy (x+y)^2 $ calcolare massimi e minimi assoluti nel disco di raggio $ sqrt(2) $ e centro 0, 0

Nel trovare i punti in cui si annulla il gradiente, oltre all l'origine avrei anche la retta y=-x. Come devo usare questo risultato? Io ho pensato di prendere i punti (-1,1) e (1,-1) cioè l'interazione tra la retta e la frontier del disco. Inoltre andando a calcolare l'hessiano per questi tre punti risultano tutti semidefiniti!

[curiosone1]

Allora, tu devi trovarti il vincolo che ti viene, indirettamente, detto: $ (x^2-x0)^2 + (y^2-y0)^2 = r^2 $
Che diventa: $ x^2 + y^2 = 2 $
Adesso devi ottenere il vincolo in questa forma: $ g(x) = 0 $ cioè $ x^2 + y^2 - 2 = 0 $ (g(x) è il tuo vincolo).
Adesso poni gradiente di g(x) = 0 e verifica che i punti NON appartengono al vincolo g(x).
Gradiente del vincolo:
2x = 0 -> x=0
2y = 0 -> y=0
E il punto (0, 0) non appartiene al vincolo -> ok, procediamo avanti.

Adesso il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Metti a sistema:
fx - lambda*gx = 0
fy - lambda*gy = 0
vincolo g(x)

Ossia:
$ f (x, y)= xy (x+y)^2 $
$ fx = 3x^2 + 6yx + 3y^2 $ (derivata parziale rispetto a x di f)
$ fy = 3y^2 + 3x^2 + 6xy $(derivata parziale rispetto a y di f)

Sistema:
$ { ( 3x^2 + 6yx + 3y^2 -\lambda\ * 2x = 0),
( 3y^2 + 3x^2 + 6xy - \lambda\*2y = 0),
( x^2 + y^2 = 2 )
:} $

Adesso calcola i vari x, y e lambda che ti verranno, sostituiscili nella funzione e troverai tutto!

[curiosone1]

Hai le soluzioni sotto mano?
Quali sono? Anch'io sto lavorando su questi esercizi!

[cortex96]

Niente risultati, e non abbiamo neanche visto i moltiplicatori di lagrange

[Antimius]

Se non hai visto i moltiplicatori di Lagrange, per studiare i punti estremali vincolati al bordo, devi parametrizzare quest'ultimo. Essendo una circonferenza questo è facile e si tratta allora di studiare massimi e minimi di $$f(\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta) = 2 \cos \theta \sin \theta ( 2 (\cos \theta + \sin \theta)^2) = \sin(2 \theta)(2 + 2 \sin(2 \theta))= 2(\sin^2(2 \theta) + \sin(2 \theta))$$