Massimi e minimi in due variabili, sbaglia Wolfram o sbaglio io?

[qwertyce1]

$f(x,y)=x^2 y^3 (1-x-y)$

calcolo le derivate parziali e le metto a sistema eguagliate a zero, le soluzioni del sistema saranno i punti critici

${(2 x y^3 (1-x-y)-x^2 y^3=0),(3 x^2 y^2 (1-x-y) - x^2 y^3=0):} rarr {(2x y^3-3 x^2 y^2- 2 x y^4=0),(3 x^2 y^2 -3 x^3 y^2-4 x^2 y^3=0):}$

è subito evidente che $(0,0)$ è una soluzione del sistema, e corrisponde a un punto a hessiano nullo; tramite una valutazione sul segno di $f(x,y)$ il punto $(0,0)$ mi risulta essere un punto di sella.
per cercare più agevolmente altre eventuali soluzioni semplifico le due equazioni del precedente sistema, divido la prima per $x y^3$, e divido la seconda per $x^2 y^2$

${(2-3x-2y=0), (3-3x-4y=0):}$

così ottengo l'altro punto critico $(1/3,1/2)$, sul quale applico con successo il test dei minori di nord-ovest dal quale mi risulta il punto essere di massimo.

però Wolfram è d'accordo con me solamente per il punto $(1/3,1/2)$, poi vede sì un punto di sella, ma in $(1/3,0)$, non in $(0,0)$ come a me sembrerebbe

ho fatto un errore elementare nel modo di risolvere il sistema di equazioni?

[qwertyce1]

noto che in realtà tutti punti sull'asse delle ascisse e delle ordinate sono punti stazionari, quindi sono punti critici sia $(0,0)$ che $(1/3,0)$, insieme ad una infinità di altri simili punti.

io pensavo di aver semplificato il sistema di equazioni, in realtà lo ho ricondotto a un altro sistema di grado inferiore e quindi ho perso l'informazione su alcune soluzioni, in particolare quelle del tipo $(x,0)$ e $(0,y)$

[anto_zoolander]

E' giusto quello che hai fatto, avrai sbagliato a scrivere su wolfram

[qwertyce1]

"TeM": cut

sei stato chiarissimo, grazie