Massimi e minimi in due variabili
Buonasera, c'è un esercizio che non riesco a svolgere fino in fondo, in particolare riguarda la ricerca dei punti critici tramite Hessiana l'ho fatto ho trovato un min e una sella.
Però non riesco a rispondere a questa domanda, perché pensavo di applciare Weierstrass ma se non erro questo dominio E non è limitato (infatti è limitato su z e su y ma non su x) giusto?
Ecco la parte di testo incriminata:
si ha il campo scalare:
$f( x,y,z ) = y^2 x^3 + 1/3 x^3 + 1/2 x^2 + 8 y^2 + z^2 $
Esistono punti di massimo e di minimo globali per f nel dominio $E = { ( x,y,z ) ∈ R 3 : − 1 ≤ y ≤ 1 , − 1 ≤ z ≤ 1 }$ ?
Mi piacerebbe chiedervi quindi:
1) il ragionamento che ho fatto riguardo la limitatezza è giusto? Non mi pare di poter trovare una palla essendo x libero di variare da(-inf,+inf)
2) Se non posso applciare waierstrass come posso rispondere?
Grazie
Però non riesco a rispondere a questa domanda, perché pensavo di applciare Weierstrass ma se non erro questo dominio E non è limitato (infatti è limitato su z e su y ma non su x) giusto?
Ecco la parte di testo incriminata:
si ha il campo scalare:
$f( x,y,z ) = y^2 x^3 + 1/3 x^3 + 1/2 x^2 + 8 y^2 + z^2 $
Esistono punti di massimo e di minimo globali per f nel dominio $E = { ( x,y,z ) ∈ R 3 : − 1 ≤ y ≤ 1 , − 1 ≤ z ≤ 1 }$ ?
Mi piacerebbe chiedervi quindi:
1) il ragionamento che ho fatto riguardo la limitatezza è giusto? Non mi pare di poter trovare una palla essendo x libero di variare da(-inf,+inf)
2) Se non posso applciare waierstrass come posso rispondere?
Grazie
Risposte
ciao il tuo esercizio mi piace molto, anche se non ho a disposizione alcuna ricetta preconfezionata (e quindi nessuna risposta certa) mi piacerebbe provare a ragionare con te
Hai provato ad immaginarti la situazione graficamente?
In effetti le variabili sono 3 (non 2 mi pare) e quindi magari non è la strada più indicata...
Anyway il nostro dominio me lo immagino come un prisma regolare quadrangolare che non ha basi che lo chiudano, l'asse centrale è l'asse $x$
poi ho provato a fare qualche raccoglimento all'interno del polinomio per vedere se la foschia si dirada un po', secondo te è una buona idea?
Hai provato ad immaginarti la situazione graficamente?
In effetti le variabili sono 3 (non 2 mi pare) e quindi magari non è la strada più indicata...
Anyway il nostro dominio me lo immagino come un prisma regolare quadrangolare che non ha basi che lo chiudano, l'asse centrale è l'asse $x$
poi ho provato a fare qualche raccoglimento all'interno del polinomio per vedere se la foschia si dirada un po', secondo te è una buona idea?
Innanzitutto grazie per la risposta.
Anche io, avendo una certa attitudine "grafica", mi diverto ad immaginare domini e è proprio come dici.
Il fatto che non essendo compatto e non potendo applicare Weierstrass (che è l'unica cosa che mi èvenuta in mente) non riuscivo a capire come fare e mi sono bloccato.
Dici che raccogliere aiuti, domattina provo a giochicchiarci un po', grazie della dritta
[Edit]
Devo dire che ci ho provato un po' ma non riesco ad uscirne.
Anche io, avendo una certa attitudine "grafica", mi diverto ad immaginare domini e è proprio come dici.
Il fatto che non essendo compatto e non potendo applicare Weierstrass (che è l'unica cosa che mi èvenuta in mente) non riuscivo a capire come fare e mi sono bloccato.
Dici che raccogliere aiuti, domattina provo a giochicchiarci un po', grazie della dritta
[Edit]
Devo dire che ci ho provato un po' ma non riesco ad uscirne.
Ciao
allora ti dico cosa ho pensato io, ma non c'è nessuna garanzia che sia corretto
$f( x,y,z ) = y^2 x^3 + 1/3 x^3 + 1/2 x^2 + 8 y^2 + z^2 $
raccolgo $y^2$ e $x^2$
$f( x,y,z ) = y^2( x^3 +8)+ x^2(1/2+1/3x) + z^2 $
ora sia $z^2$ che $y^2$ possono variare tra 0 e 1
proviamo a vedere cosa succede quando entrambi valgono 1 (cioè lungo le rette parallele all'asse x che sono un po' gli spigoli del nostro prisma... senza basi)
la nostra funzione diventa
$f( x ) = ( x^3 +8)+ x^2(1/2+1/3x) + 1 $
$f( x ) = 4/3x^3 + 1/2x^2 +9$
che ne dici?
può avere senso?
allora ti dico cosa ho pensato io, ma non c'è nessuna garanzia che sia corretto
$f( x,y,z ) = y^2 x^3 + 1/3 x^3 + 1/2 x^2 + 8 y^2 + z^2 $
raccolgo $y^2$ e $x^2$
$f( x,y,z ) = y^2( x^3 +8)+ x^2(1/2+1/3x) + z^2 $
ora sia $z^2$ che $y^2$ possono variare tra 0 e 1
proviamo a vedere cosa succede quando entrambi valgono 1 (cioè lungo le rette parallele all'asse x che sono un po' gli spigoli del nostro prisma... senza basi)
la nostra funzione diventa
$f( x ) = ( x^3 +8)+ x^2(1/2+1/3x) + 1 $
$f( x ) = 4/3x^3 + 1/2x^2 +9$
che ne dici?
può avere senso?
ti direi che considerando $f(x,0,0)=1/3x^3+1/2x^2$ la funzione se ne va sia a $+infty$ che a $-infty$ inoltre essendo $(x,0,0)$ un punto che sta nel dominio, concluderei che la funzione non ammette né massimo né minimo assoluti.
per quelli locali, basta appunto usare derivate ed hessiano
per quelli locali, basta appunto usare derivate ed hessiano
Grazie mille, avete ragione.
Mi avete fatto ragionare un po', vi ringrazio. Direi chiaro!
Non so perché ma proprio mi ero bloccato
Mi avete fatto ragionare un po', vi ringrazio. Direi chiaro!
Non so perché ma proprio mi ero bloccato
Mi piacerebbe sottoporvi un altro esercizio su cui mi sono incartato nuovamente, mi piace cercare facendo gli esercizi di pormi domande il fatto che non essendo una domanda dell'esercizio non so quale sia più giusto e quale ragionamento invece pecchi.
Ho il campo scalare: $f(x,y,z)=log(x-2y)-x^2/2-y^3/3-z^2$
mi chiedevo se esistesse massimo o minimo globale, ebbene ho provato ad applicare i suggerimenti e facendo:
$f(x,0,0)=log(x)-x/2$ con x che tende a infinito mi ritroverei -inf. perché per la gerarchia degli infinitesimi log(x)<0.
però impostando: $f( x, − x/4 , 0 ) = log x^2 + x^2 + x^3/192$ beh a infinitova a infinito.
Ma non è possibile 'sta cosa, capisco se a y andasse a infinito e a x a meno, ma per la stessa variabile non può assumere valori diversi. Evidentemente sbaglio ma non capisco cosa.
Ho il campo scalare: $f(x,y,z)=log(x-2y)-x^2/2-y^3/3-z^2$
mi chiedevo se esistesse massimo o minimo globale, ebbene ho provato ad applicare i suggerimenti e facendo:
$f(x,0,0)=log(x)-x/2$ con x che tende a infinito mi ritroverei -inf. perché per la gerarchia degli infinitesimi log(x)<
però impostando: $f( x, − x/4 , 0 ) = log x^2 + x^2 + x^3/192$ beh a infinitova a infinito.
Ma non è possibile 'sta cosa, capisco se a y andasse a infinito e a x a meno, ma per la stessa variabile non può assumere valori diversi. Evidentemente sbaglio ma non capisco cosa.
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