Massimi e minimi in due variabili

[antofilo-votailprof]

Salve,
avrei bisogno di un chiarimento.
Quando si devono usare i moltiplicatori di Lagrange per la ricerca di massimo o minimo su un bordo?
Mi ha messo in confusione (ancor di più) una cosa. All'esame di Analisi 2 ho dovuto calcolare massimi e minimi di una funzione su un sottoinsieme del dominio chiuso e limitato.
Ora ad Analisi 3 mi è stato presentato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si usa nello stesso esercizio oppure si usa con un tipo di vincolo diverso?

Potreste spiegarmi?
Grazie

[donald_zeka]

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è un metodo sistematico di ricerca di estremi di una funzione con un determinato vincolo, significa cioè che ha un ben preciso algoritmo che può essere implementato su software, essendo un metodo sistematico lascia quindi poco spazio alla fantasia...hai la funzione, hai il vincolo, applichi il metodo ed è fatta. Quando si usa? Beh quando devi trovare gli estremi di una funzione determinata ad un certo vincolo. Perché ad analisi 2 ti riusciva trovare gli estremi sul bordo anche senza questo metodo? Perché negli esercizi che ti davano ad analisi 2 i bordi erano "semplici" e "parametrizzabili" così che potevi parametrizzare il bordo e ricondurti alla ricerca di massimi e minimi in una sola variabile, ma quando il bordo non è parametrizzabili ti resta solo il metodo di Lagrange. Anche un'altra cosa, il metodo di Lagrange è un metodo molto generale, vale per funzioni in spazi di dimensione generica, mentre negli esercizi che facevi consideravi solo funzioni scalari da $RR^2$ in $RR$, in dimensioni superiori non puoi parametrizzare il bordo con una sola variabile, quindi non puoi ricondurti alle funzioni in una sola variabile, ed ecco a che serve Lagrange.
E' come le equazioni di Lagrange in meccanica, una volta date le coordinate generalizzate del sistema, le equazioni di Lagrange ti permettono subito di risolvere il problema e possono essere implementate su software, mentre con le equazioni di Newton la cosa non è fattibile perché richiede la conoscenza delle reazioni vincolari a cui è sottoposto il sistema. Nota che il metodo dei moltiplicatori di Lagrange in analisi e le equazioni di Lagrange in meccanica sono del tutto analoghe e basate sullo stesso principio: ricerca di massimi e minimi per funzioni sottoposte a vincoli.

[antofilo-votailprof]

Grazie per la risposta.
Posso dire che i moltiplicatori di Lagrange sono correlati la teoria della funzione implicita?
Comunque da quanto capisco, tutti i problemi di punti estremanti si possono risolvere con Lagrange e solo alcuni con gli altri metodi?

[donald_zeka]

No, questo metodo non ha niente a che fare con il teorema delle funzioni implicite (se con questo intendi il fatto che, per esempio in 2 variabili, il teorema delle funzioni implicite ci dice che sotto opportune condizioni è possibile esplicitare y in funzione di x per un certo vincolo f(x,y)=0...ma questo ha solo carattere locale, inoltre il teorema ci dice solo che esiste una funzione y=g(x), ma non ci dice l'espressione esplicita di tale funzione, anzi spesso non è neanche esplicitabile, quindi in questo caso è poco utile).

Si, qualsiasi problema che rispetta le condizioni del metodo di lagrange è risolvibile con esso

[donald_zeka]

Per esempio se ti danno un vincolo del tipo $cos(xy)+2e^(tany^2)+lnx=0$...non hai alcun modo di risolverlo con metodi elementari...devi per forza usare lagrange (e magari pure un computer per risolvere il sistema di equazioni che ti viene)