Massimi e minimi in due variabili

[fireball-votailprof]

Determinare i massimi e i minimi relativi della funzione:
$f(x,y)=3x^4+y^4+4x^{3y}$
Si ha:
Punti stazionari
${(\partial/{\partial x}f(x,y)=12x^3+12yx^{3y-1}=0),(\partial/{\partial y}f(x,y)=4y^3+12x^{3y}logx=0):}$
già qua mi blocco, c'è qualcuno che abbia un suggerimento?

[fireball-votailprof]

"TeM":Guarda, io ragionerei così. Il dominio di \(f\) risulta essere \(D:=\left\{ (x,\,y)\in\mathbb{R}^2 : x > 0 \right\}\). Dunque la derivata parziale rispetto ad \(x\) si riduce a \(1+yx^{3y-4}=0\) che per essere verificata deve soddisfare \(y=-x^{4-3y}\). Quindi, notando che per \(x>0\) si ha \(x^{4-3y}>0 \; \; \forall\,y\in\mathbb{R}\), l'ordinata deve essere per forza di cose negativa. Ciò osservato, non è difficile convincersi del fatto che per via del fatto che l'espressione a primo membro è lineare mentre la seconda è esponenziale in \(y\), l'unica coppia che può soddisfare tale equazione è \((x,\,y)=(1,\,-1)\). Ora, per via del fatto che tale coppia non soddisfa l'altra equazione (con a primo membro la derivata parziale rispetto ad \(y\)) si conclude che \(f\) non presenta punti critici in \(\mathbb{R}\) e di conseguenza nemmeno massimi/minimi relativi/assoluti. Può filare come ragionamento?

ma come fai a ottenere tali derivate? sono completamente diverse dalle mie