Massimi e minimi globali di una funzione in due variabili
Ciao a tutti. Sto preparando l'esame di analisi I ormai da qualche mese e trovo notevole difficoltà con alcune tipologie di esercizi. In particolare vi vorrei sottoporre un classico quesito d'esame nella mia facoltà, ossia la ricerca dei massimi e minimi di una funzione in due variabili dato un particolare sottoinsieme. I problemi che riscontro sono principalmente di natura "numerica" in quanto spesso e volentieri mi ritrovo a fare pagine e pagine di calcoli che alla fine non mi portano da nessuna parte. Volevo quindi sapere se c'è qualche "trucchetto" a me sconosciuto che può aiutare a ridurre la mole di calcoli.
Andiamo con ordine ecco l'esercizio
\[f(x,y)=\frac{\sqrt{e^x+y-1}}{x^2+y^2}\]
Determinare se esistono minimi e massimi locali di f in A={f(x; y) \(R^2\): x\(\ge\) 0; y \(\ge\)1}
il problema concettualmente non è troppo complesso , si deve andare per prima cosa a trovare la derivata parziale rispetto ad x e y , porle uguali a zero , trovare quindi gli eventuali punti critici della funzione , a questo punto si verifica se cadono all'interno di A. Se si allora si procede con il test dell'Hessiana o con uno studio locale per determinarne la natura altrimenti si passa oltre.
Effettuato questo studio preliminare si vanno a studiare le condizioni sulla frontiera. In questo particolare caso l'insieme A non è chiuso e limitato quindi non posso applicare Weierstrass (che mi garantisce l'esistenza di massimi e minimi locali ). Suddivido la frontiera in segmenti
S1...
S2...
vado quindi a restringere la mia f(x,y) a s1, S2,..Sn (facendo un sistema) e si vanno a valutare i punti critici (che si trovano derivando la nuova funzione) nell'intervallo voluto. SI confrontano quindi i valori così ricavati con quelli che si ottengono agli estremi dell'intervallo , in questo modo riesco a classificare i punti critici sulle frontiere.
Concettualmente non ho grossi problemi ,questi sorgono invece durante i calcoli. In particolare nella determinazione iniziale di
\[\frac{\partial f}{\partial x}=0\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=0\]
trovare infatti i punti critici ponendo uguali a zero le derivate parziali in molti casi si è rivelato un metodo contorto e a tratti impossibile(negli esercizi d'esame), mi è dunque sorto il dubbio che possa esistere un modo alternativo di svolgere il problema in maniera da evitare calcoli molto lunghi e difficoltosi. Potete aiutarmi? è una questione di metodo oppure devo semplicemente rassegnarmi e svolgere tutti i conti?
Andiamo con ordine ecco l'esercizio
\[f(x,y)=\frac{\sqrt{e^x+y-1}}{x^2+y^2}\]
Determinare se esistono minimi e massimi locali di f in A={f(x; y) \(R^2\): x\(\ge\) 0; y \(\ge\)1}
il problema concettualmente non è troppo complesso , si deve andare per prima cosa a trovare la derivata parziale rispetto ad x e y , porle uguali a zero , trovare quindi gli eventuali punti critici della funzione , a questo punto si verifica se cadono all'interno di A. Se si allora si procede con il test dell'Hessiana o con uno studio locale per determinarne la natura altrimenti si passa oltre.
Effettuato questo studio preliminare si vanno a studiare le condizioni sulla frontiera. In questo particolare caso l'insieme A non è chiuso e limitato quindi non posso applicare Weierstrass (che mi garantisce l'esistenza di massimi e minimi locali ). Suddivido la frontiera in segmenti
S1...
S2...
vado quindi a restringere la mia f(x,y) a s1, S2,..Sn (facendo un sistema) e si vanno a valutare i punti critici (che si trovano derivando la nuova funzione) nell'intervallo voluto. SI confrontano quindi i valori così ricavati con quelli che si ottengono agli estremi dell'intervallo , in questo modo riesco a classificare i punti critici sulle frontiere.
Concettualmente non ho grossi problemi ,questi sorgono invece durante i calcoli. In particolare nella determinazione iniziale di
\[\frac{\partial f}{\partial x}=0\]
\[\frac{\partial f}{\partial y}=0\]
trovare infatti i punti critici ponendo uguali a zero le derivate parziali in molti casi si è rivelato un metodo contorto e a tratti impossibile(negli esercizi d'esame), mi è dunque sorto il dubbio che possa esistere un modo alternativo di svolgere il problema in maniera da evitare calcoli molto lunghi e difficoltosi. Potete aiutarmi? è una questione di metodo oppure devo semplicemente rassegnarmi e svolgere tutti i conti?
Risposte
sei stato gentilissimo. Grazie infinite
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo