Massimi e minimi globali
Salve avevo l'esame di analisi 2 fra pochi giorni e non capisco come fare un esercizio che chiede questo:
I valori massimo e minimo globali di f(x; y) = xy su {(x,y) appartenente a R^2: 2(x^2)+(y^2)<=1}.
Volevo sapere come si risolve se servono i moltiplicatori di lagrange e anche come si fa a trovare i punti sulle frontiere invece che interni grazie.
,poi vi faccio una richiesta enorme,se potete aiutarmi in generale a capire come fare gli esercizi di questa scheda grazie mille.
http://alan.dma.unipi.it/miei/scritti/s ... -11_AN.pdf
I valori massimo e minimo globali di f(x; y) = xy su {(x,y) appartenente a R^2: 2(x^2)+(y^2)<=1}.
Volevo sapere come si risolve se servono i moltiplicatori di lagrange e anche come si fa a trovare i punti sulle frontiere invece che interni grazie.
,poi vi faccio una richiesta enorme,se potete aiutarmi in generale a capire come fare gli esercizi di questa scheda grazie mille.http://alan.dma.unipi.it/miei/scritti/s ... -11_AN.pdf
Risposte
Salve avevo l'esame di analisi 2 fra pochi giorni
Anche io... (io l'avrò tra pochi giorni...)
Punti stazionari interni: l'origine, ma è una sella.
$\nablaf(x,y)=(y,x)$ quindi $\nablaf=0$ per $(x,y)=(0,0)$
ma nel I°quadrante $xy>0$ nel II° $xy<0$ quindi è una sella.
Usare i moltiplicatori di Lagrange va bene:
si calcola il gradiente del vincolo $g(x,y)=k$
$\nabla g(x,y)=(2x,y)$
Quindi deve essere che $\nablaf=\lambda\nablag$ cioè $(y,x)=\lambda(2x,y)$
ossia il sistema
${(y=2\lambda x),(x=\lambday),(2x^2+y^2=1):}$
La risoluzione del sistema porta a individuare i punti $(\pm1/2,\pm1/\sqrt2)$
da cui la risposta E.
Post n. 3000 !!!!!!!!!!!!!!!
Quesito 2.
Deve essere che $\nablaf(x,y)!=(0,k)$
$\nabla(x,y)=(4x^3-3x^2,3y^2)$
cioè $4x^3-3x^2!=0$ che porta alla soluzione C.
Quesito 3.
Una volta individuato facilmente il punto della superficie $(u_0.v_0)=(1,1)$,
si individuano le restrizioni (che sono due curve in $RR^3$) $\gamma_1=f(u,v_0)$ e $\gamma_2=f(u_0,v)$.
Il vettore tangente alla superficie è quindi ortogonale alle tangenti delle due curve, e la condizione di ortogonalità si trova usando il prodotto vettoriale, ovvero:
$\bb n=(\bb (\gamma_1)'\times \bb (\gamma_2)')$
Allora
$\bb \gamma_1=(e^(u+1),e^(u-1),\sqrtu)$
$\bb (\gamma_1)'=(e^(u+1),e^(u-1),1/(2\sqrtu))$
$\bb \gamma_1'|_(1,1)=(e^2,1,1/2)$
Con calcoli simili
$\bb \gamma_2'|_(1,1)=(e^2,-1,1/2)$
da cui il prodotto vettoriale $(1,0,-2e^2)$
e la risposta è quasi sicuramente la C anche senza completare i calcoli.
Quesito 4.
Abbiamo il campo vettoriale $\bbV=(f_1(x,y),f_2(x,y))$.
Per soddisfare la richiesta dell'esercizio deve essere
$(\partial)/(\partialy)f_1(x,y)=(\partial)/(\partialx)f_2(x,y)$.
Non è vero quindi cerchiamo la risposta tra C e E.
Si fa la derivata parziale della risposta C, rispetto a $x$ e $y$ e si trovano esattamente la $f_1$ e la $f_2$.
Quindi risposta C.
Quesito 5.
La massima pendenza è in direzione di $\nablaf(x,y,z)|_(1,1,1)=(1,1,1)$.
Risposta B.
Quesito 6.
E' sufficiente considerare le retrizioni $x=y$ e $x=-y$.
In un caso $lim = +oo$ nell'altro $lim = -oo$.
Non esiste limite risposta D.
Quesito 7.
Un tratto infinitesimo di curva in coordinate polari ha lunghezza rispetto a $d\theta$
$dl=[\sqrt((\rho')^2+\rho^2)]d\theta$
si integra quindi $\int_0^(2\pi)\rho^2\ dl$
dove $\rho^2$ è la funzione $x^2+y^2$ in coordinate polari.
L'integrali diventa $\int_0^(2\pi)\rho^2\ [\sqrt((\rho')^2+\rho^2)]d\theta$
siccome $\rho=\theta$
$\int_0^(2\pi)\theta^2\ [\sqrt(1+\theta^2)]d\theta$
e si risolve con calcoli un po' laboriosi (sinh eccetera).
Con tutta probabilità si arriva alla D (in mancanza di tempo all'esame ci si giocano le probabilità )
Quesito 8.
L'insieme è equivalente a $RR^3$ privato di un semipiano.
In pratica è lo spazio $RR^3$ con un "taglio". E' semplicemente connesso, risp. E
Quesito 9.
Il cilindro ha asse // asse z, centro in $x=1/4$ e raggio $1/4$.
Si imposta allora l'integrale in coordinate cilindriche
$2\int_(-\pi/2)^(\pi/2)\int_(0)^(1/2cos2\theta)\int_0^(1-r^2)\ r\ dz\ \ dr\ d_\theta$
$2\int_(-\pi/2)^(\pi/2)\int_(0)^(1/2cos2\theta) (r-r^3)\ \ dr\ d_\theta$
eccetera...
Quesito 2.
Deve essere che $\nablaf(x,y)!=(0,k)$
$\nabla(x,y)=(4x^3-3x^2,3y^2)$
cioè $4x^3-3x^2!=0$ che porta alla soluzione C.
Quesito 3.
Una volta individuato facilmente il punto della superficie $(u_0.v_0)=(1,1)$,
si individuano le restrizioni (che sono due curve in $RR^3$) $\gamma_1=f(u,v_0)$ e $\gamma_2=f(u_0,v)$.
Il vettore tangente alla superficie è quindi ortogonale alle tangenti delle due curve, e la condizione di ortogonalità si trova usando il prodotto vettoriale, ovvero:
$\bb n=(\bb (\gamma_1)'\times \bb (\gamma_2)')$
Allora
$\bb \gamma_1=(e^(u+1),e^(u-1),\sqrtu)$
$\bb (\gamma_1)'=(e^(u+1),e^(u-1),1/(2\sqrtu))$
$\bb \gamma_1'|_(1,1)=(e^2,1,1/2)$
Con calcoli simili
$\bb \gamma_2'|_(1,1)=(e^2,-1,1/2)$
da cui il prodotto vettoriale $(1,0,-2e^2)$
e la risposta è quasi sicuramente la C anche senza completare i calcoli.
Quesito 4.
Abbiamo il campo vettoriale $\bbV=(f_1(x,y),f_2(x,y))$.
Per soddisfare la richiesta dell'esercizio deve essere
$(\partial)/(\partialy)f_1(x,y)=(\partial)/(\partialx)f_2(x,y)$.
Non è vero quindi cerchiamo la risposta tra C e E.
Si fa la derivata parziale della risposta C, rispetto a $x$ e $y$ e si trovano esattamente la $f_1$ e la $f_2$.
Quindi risposta C.
Quesito 5.
La massima pendenza è in direzione di $\nablaf(x,y,z)|_(1,1,1)=(1,1,1)$.
Risposta B.
Quesito 6.
E' sufficiente considerare le retrizioni $x=y$ e $x=-y$.
In un caso $lim = +oo$ nell'altro $lim = -oo$.
Non esiste limite risposta D.
Quesito 7.
Un tratto infinitesimo di curva in coordinate polari ha lunghezza rispetto a $d\theta$
$dl=[\sqrt((\rho')^2+\rho^2)]d\theta$
si integra quindi $\int_0^(2\pi)\rho^2\ dl$
dove $\rho^2$ è la funzione $x^2+y^2$ in coordinate polari.
L'integrali diventa $\int_0^(2\pi)\rho^2\ [\sqrt((\rho')^2+\rho^2)]d\theta$
siccome $\rho=\theta$
$\int_0^(2\pi)\theta^2\ [\sqrt(1+\theta^2)]d\theta$
e si risolve con calcoli un po' laboriosi (sinh eccetera).
Con tutta probabilità si arriva alla D (in mancanza di tempo all'esame ci si giocano le probabilità
)Quesito 8.
L'insieme è equivalente a $RR^3$ privato di un semipiano.
In pratica è lo spazio $RR^3$ con un "taglio". E' semplicemente connesso, risp. E
Quesito 9.
Il cilindro ha asse // asse z, centro in $x=1/4$ e raggio $1/4$.
Si imposta allora l'integrale in coordinate cilindriche
$2\int_(-\pi/2)^(\pi/2)\int_(0)^(1/2cos2\theta)\int_0^(1-r^2)\ r\ dz\ \ dr\ d_\theta$
$2\int_(-\pi/2)^(\pi/2)\int_(0)^(1/2cos2\theta) (r-r^3)\ \ dr\ d_\theta$
eccetera...
scusa ma una cosa che non mi torna nel primo esercizio non viene y=4lambdax e x =2lambday?Poi comunque sarò scarso ma non mi riesce risolvere quel sistema.
Ok, però se scrivo ad esempio
$y(t)=4k\ t$
dove $k$ è una costante che non conosco ancora, non so cos'è, non so neanche se esiste, non ti sembra che il 4 possa essere "inglobato" dentro alla $k$ ?
$y(t)=4k\ t$
dove $k$ è una costante che non conosco ancora, non so cos'è, non so neanche se esiste, non ti sembra che il 4 possa essere "inglobato" dentro alla $k$ ?
Ok si siamo d'accordo ho capito mi rimane il fatto che non mi riesce risolvere quel sistema non so quali sostituzioni fare per risolverlo...
"Raikton":
Ok si siamo d'accordo ho capito mi rimane il fatto che non mi riesce risolvere quel sistema non so quali sostituzioni fare per risolverlo...
Perchè non metti qualche tentativo tuo ? Anche se è sbagliato non importa.
Per esempio sostituivo in x=2lambday la y=4lambda x ottenendo x=8lambda^2 x e cominciava a essere ingarbugliata la cosa,poi sostituivo queste due x e y nell'ultima equazione ottenendo qualcosa di osceno...
Ok niente mi torna risolto 
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