Massimi e minimi funzioni di 2 variabili

[Gio910]

Si consideri la funzione f(x,y)=xy
1)trovare eventuali punti di massimo e minimo relativo ed assoluto di f;
2)trovare eventuali punti di massimo e minimo assoluto di f nel triangolo di vertici (0,0),(1,0),(0,1)
1)derivate parziali:
$f_x=y$
$f_y=x$
ponendole uguale a 0 il punto critico è l'origine.
Hessiana:
$H=|(0,1),(1,0)|=-1$
Punto di sella(?)
2)
O=(0,0)
A=(1,0)
B=(0,1)
OA ha equazione x=0 con $0<=y>=1$
OB ha equazione y=0 con $0<=x>=1$
AB ha equazione y=-x+1 con $0<=x>=1$
sostituendo nell'equazione
su OA la funzione è $f_(OA)(x,y)=0$ con $0<=y>=1$
su OB la funzione è $f_(OB)(x,y)=0$ con $0<=x>=1$
su AB la funzione è $f_(OB)(x,y)=-x^2+x$ con $0<=x>=1$
posso concludere che il punto di massimo è il vertice della parabola?
e sarebbe di massimo assoluto per il teorema di weierstrass?

[Gio910]

intanto grazie per la risposta:

"TeM":
Sui massimi e minimi vincolati, a rigore, occorrerebbe considerare i vertici del triangolo a parte: dunque
nelle parametrizzazioni dei lati andrebbero esclusi gli estremi in cui sono definiti. Se ti va leggi pure qui.

ho letto il post ma non ho capito come dovrei studiare gli spigoli

"TeM":Comunque sia la risposta è parzialmente corretta in quanto occorre scrivere anche che i luoghi dei punti
\((t,\,0)\) e \((0,\,t)\) per \(t\in[0,\,1]\) sono tutti di minimo assoluto per \(f\) sul triangolo \(T\) (per il th di Weierstrass)

questo perchè la funzione su OA e OB vale sempre 0 che è minore del vertice della parabola $f(1/2,5/4)=5/8 $?

[Gio910]

perfetto,grazie mille.Avevo sbagliato il punto dimenticandomi che $y=1-x$