Massimi e minimi, funzione a più variabili
Devo determinare i punti di massimo e minimo di
$f(x,y)=|9-y^2|-(y-log_2x)^2$ con dominio $D_f=x>0$
procedo studiando una delle derivate parziali, quella analiticamente più semplice:
$f_x=(2(y-log_2x))/(xlog2)$ e trovo massimo per $ x=0$ e min $x=2^-y$ ma $0 notin D_f$
allora studio $ varphi (y)=f(2^-y,y)=|9-y|-4y^2 $
$ varphi' (y)=(-2y)(|9-y|/(9-y)+4) $ ha massimo in $y=0$ e min in $y=+-3$
Il risultato del libro è che (1,0) è massimo relativo, ho provato a giustificarlo così:
$f(x,y)-f(1,y)=-(y-log_2x)^2-1/2y^2<=0$ quindi $f(x,y)
Alternativamente dovevo dire che:
$f(x,y)<=varphi (y)=f(2^-y,y)<=f(1,0)$ ma non riesco a dimostrare $f(x,y)<=f(2^-y,y)$ cioè che $-(y^2-log_2x)^2+4y^2<=0$
Come devo fare?
$f(x,y)=|9-y^2|-(y-log_2x)^2$ con dominio $D_f=x>0$
procedo studiando una delle derivate parziali, quella analiticamente più semplice:
$f_x=(2(y-log_2x))/(xlog2)$ e trovo massimo per $ x=0$ e min $x=2^-y$ ma $0 notin D_f$
allora studio $ varphi (y)=f(2^-y,y)=|9-y|-4y^2 $
$ varphi' (y)=(-2y)(|9-y|/(9-y)+4) $ ha massimo in $y=0$ e min in $y=+-3$
Il risultato del libro è che (1,0) è massimo relativo, ho provato a giustificarlo così:
$f(x,y)-f(1,y)=-(y-log_2x)^2-1/2y^2<=0$ quindi $f(x,y)
Alternativamente dovevo dire che:
$f(x,y)<=varphi (y)=f(2^-y,y)<=f(1,0)$ ma non riesco a dimostrare $f(x,y)<=f(2^-y,y)$ cioè che $-(y^2-log_2x)^2+4y^2<=0$
Come devo fare?
Risposte
Stavo seguendo un metodo esposto nel libro stesso, Mercellini-Sbordone, in cui si valuta prima una delle due derivate parziali per poi trovare una curva di massimi/minimi e andarla a studiare. In questo caso avevo scelto $f_x$ quindi con y fissato ho trovato una curva di massimi in $2^y$ cioè so quando il ''cammino'' è il salita o in discesa. Poi mi pongo sulla curva di massimi e studio l'andamento per poi unire le considerazioni trovate.
Non ho calcolato l'hessiano perchè il sistema sembrava complicato
Giusto
è stato questo a farmi sbagliare tutto il ragionamento, infatti con $2^y$ ottengo $varphi (y)=f(2^y,y)=|9-y|$
e valutando l'incremento $f(x,y)-f(2^y,y)$ ottengo proprio:
$f(x,y)-f(2^y,y)=-(y-log_2x)^2<=0$ allora $f(x,y)<=f(2^y,y)$ ma dallo studio di $varphi (y)$ so che $(1,0)$ è un massimo perciò
$f(x,y)<=varphi (y)=f(2^y,y)<=f(1,0)$
così dimostro che $(1,0)$ è massimo
Dallo studio di $f(2^y,y)$ mi trovo anche $y=+-3$,essendo $f'(2^y,y)=varphi' (y)=(2y)(|9-y|/(9-y))$ infatti come da te scritto $ f_y(2^y, y)=\sgn(9-y^2)2y $ non risulta nulla anche per $y=+-3$? Non è derivabile lì però se con la derivabilità non posso dire nulla provo con un altro metodo e dimostro che non possono essere punti di minimo perchè
$f(x,y)<=f(2^-y,y)$
Non ho calcolato l'hessiano perchè il sistema sembrava complicato
"arnett":
ti faccio notare che $ f_x=(2(y-log_2x))/(xlog2) $ si annulla per $ x=2^y $, non $ x=2^-y $.
Giusto
è stato questo a farmi sbagliare tutto il ragionamento, infatti con $2^y$ ottengo $varphi (y)=f(2^y,y)=|9-y|$e valutando l'incremento $f(x,y)-f(2^y,y)$ ottengo proprio:
$f(x,y)-f(2^y,y)=-(y-log_2x)^2<=0$ allora $f(x,y)<=f(2^y,y)$ ma dallo studio di $varphi (y)$ so che $(1,0)$ è un massimo perciò
$f(x,y)<=varphi (y)=f(2^y,y)<=f(1,0)$
così dimostro che $(1,0)$ è massimo
"arnett":
La derivata parziale in y é $ f_y(x, y)=sgn(9-y^2)2y-2(y-log_2(x)) $. Sostituendo $ x=2^y $ si ha $ f_y(2^y, y)=\sgn(9-y^2)2y $ che risulta nullo solo per $ y=0 $. Quindi l'unico punto stazionario della funzione è $ (1, 0) $.
Dallo studio di $f(2^y,y)$ mi trovo anche $y=+-3$,essendo $f'(2^y,y)=varphi' (y)=(2y)(|9-y|/(9-y))$ infatti come da te scritto $ f_y(2^y, y)=\sgn(9-y^2)2y $ non risulta nulla anche per $y=+-3$? Non è derivabile lì però se con la derivabilità non posso dire nulla provo con un altro metodo e dimostro che non possono essere punti di minimo perchè
$f(x,y)<=f(2^-y,y)$
Si avevo copiato e incollato dimenticando di correggere $2^y$, comunque grazie mille
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