Massimi e minimi due variabili vincolati a un quadrato
Ciao a tutti, apro questo post per avere conferma su questa esercizio che ho svolto. Il testo è come segue:
Sia: $ f(x, y) = xy(1 − x)(1 − y) $, e $C = {(x, y : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. $
1. Determinare i massimi e i minimi relativi di f ristretta alla parte
interna di C.
2. Determinare il valore di f ristretta al bordo di C.
3. stabilire se f ammette massimo e minimo assoluti in C
Allora ho risolto così, evito tutti i passaggi:
1. Calcolo i punti stazionari che annullano il gradiente
$ { ( y(2x-1)(y-1)=0 ),( x(x-1)(2y-1)=0 ):} $
E mi trovo ben 5 punti: $ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1/2,1/2) $
I primi 4 stanno sulla frontiera, per cui considero solo $ (1/2,1/2) $ .
Andando a calcolare le varie derivate seconde arrivo alla matrice hessiana:
$ | ( 2y^2-2y , 4xy-2x-2y+1 ),( 4xy-2x-2y+1 , 2x^2-2x) | $
Calcolandola in $ (1/2,1/2) $ , trovo come risultato un punto di massimo.
2. Considero 4 segmenti:
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=x<=1,y=0} $ , dove la funzione è $f(x,0)=0$
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=x<=1,y=1} $ , dove la funzione è $f(x,1)=0$
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=y<=1,x=1} $ , dove la funzione è $f(0,y)=0$
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=y<=1,x=0} $ , dove la funzione è $f(1,y)=0$
3. Il punto $ (1/2,1/2) $ , è un punto di massimo assoluto.
Non mi è chiaro invece cosa accade negli altri 4 punti che stanno sulla frontiera: la funzione vale 0 in tutti quei punti e stanno più in basso di $ (1/2,1/2) $ .
Mi verrebbe da dire che sono dei minimi, ma nessuno di loro è assoluto dato che sono coincidenti come valore.
Sapete chiarirmi? Grazie mille in anticipo
Sia: $ f(x, y) = xy(1 − x)(1 − y) $, e $C = {(x, y : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. $
1. Determinare i massimi e i minimi relativi di f ristretta alla parte
interna di C.
2. Determinare il valore di f ristretta al bordo di C.
3. stabilire se f ammette massimo e minimo assoluti in C
Allora ho risolto così, evito tutti i passaggi:
1. Calcolo i punti stazionari che annullano il gradiente
$ { ( y(2x-1)(y-1)=0 ),( x(x-1)(2y-1)=0 ):} $
E mi trovo ben 5 punti: $ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1/2,1/2) $
I primi 4 stanno sulla frontiera, per cui considero solo $ (1/2,1/2) $ .
Andando a calcolare le varie derivate seconde arrivo alla matrice hessiana:
$ | ( 2y^2-2y , 4xy-2x-2y+1 ),( 4xy-2x-2y+1 , 2x^2-2x) | $
Calcolandola in $ (1/2,1/2) $ , trovo come risultato un punto di massimo.
2. Considero 4 segmenti:
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=x<=1,y=0} $ , dove la funzione è $f(x,0)=0$
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=x<=1,y=1} $ , dove la funzione è $f(x,1)=0$
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=y<=1,x=1} $ , dove la funzione è $f(0,y)=0$
$ S_1={(x,y)in R^2 : 0<=y<=1,x=0} $ , dove la funzione è $f(1,y)=0$
3. Il punto $ (1/2,1/2) $ , è un punto di massimo assoluto.
Non mi è chiaro invece cosa accade negli altri 4 punti che stanno sulla frontiera: la funzione vale 0 in tutti quei punti e stanno più in basso di $ (1/2,1/2) $ .
Mi verrebbe da dire che sono dei minimi, ma nessuno di loro è assoluto dato che sono coincidenti come valore.
Sapete chiarirmi? Grazie mille in anticipo
Risposte
Chi ha detto che di punti di massimo e minimo assoluti ce ne deve essere solo uno?
Quindi posso concludere che $ (0,0),(0.1),(1,0),(1,1) $ , sono tutti punti di minimo assoluti?
Il resto è corretto?
Il resto è corretto?
La parte relativa ai punti di massimo e minimo relativi INTERNI è corretta, la parte che coinvolge anche la frontiera è sbagliata. Quando sei sulla frontiera non te ne importa niente di dove si annulla il gradiente, i punti di massimo e minimo sulla frontiera non sono necessariamente quelli in cui si annulla il gradiente. Per trovarli devi restringere la funzione alla frontiera, calcolare cioè massimi e minimi vincolati e non liberi (come nel caso dell'interno del quadrato, in cui si deve usare il gradiente). In pratica tu hai già calcolato la funzione nella frontiera del quadrato, e ti sei reso conto che ovunque nella frontiera la funzione vale 0...e quindi perché mai i pubti di minimo devono essere solo quei 4 in cui si annulla il gradiente? Tutti i punti della frontiera in questo caso sono punti di minimo assoluto.
Perfetto, grazie mille sei stato chiarissimo;)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo