Massimi e minimi di funzioni in più variabili
non so se qualcuno sa risolvermi questo dubbio:
devo studiare i massimi e minimi relativi di una funzione in più variabili,quindi calcolo le derivate parziali e
impongo che siano uguali a 0 ottenendo i punti critici.
tra i punti critici devo ricercare gli eventuali massimi, minimi e punti di sella.
quindi calcolo le derivate seconde per detrminare l'Hessiano.
il problema mi sorge quando il determinante dell'Hessiano è uguale a zero.
non ci sono condizioni sufficenti per capire che tipo di estremo relativo è quindi come faccio??
generalmente io provo a vedere lungo qualche curva passante per quel punto, se ,quindi, in un suo intorno assume
sia valori positivi che negativi il punto sarà un punto di sella.
ma se non riuscissi con tale metodo come faccio????
grazie per l'eventuale risposta!
p.s. qualcuno conosce qualche sito in cui ci siano esercizi svolti di analisi 3 (successioni e serie di funzioni,differenziabilità,curve in R^n, funzioni implicite)?
devo studiare i massimi e minimi relativi di una funzione in più variabili,quindi calcolo le derivate parziali e
impongo che siano uguali a 0 ottenendo i punti critici.
tra i punti critici devo ricercare gli eventuali massimi, minimi e punti di sella.
quindi calcolo le derivate seconde per detrminare l'Hessiano.
il problema mi sorge quando il determinante dell'Hessiano è uguale a zero.
non ci sono condizioni sufficenti per capire che tipo di estremo relativo è quindi come faccio??
generalmente io provo a vedere lungo qualche curva passante per quel punto, se ,quindi, in un suo intorno assume
sia valori positivi che negativi il punto sarà un punto di sella.
ma se non riuscissi con tale metodo come faccio????
grazie per l'eventuale risposta!
p.s. qualcuno conosce qualche sito in cui ci siano esercizi svolti di analisi 3 (successioni e serie di funzioni,differenziabilità,curve in R^n, funzioni implicite)?
Risposte
ricorda che non basta che la derivata si annulli perchè sia amx o min infatti:
data ƒ:[a,b]-->R e x€[a,b], se x è un estremo locale allora:
1- x è un punto critico cioè f'(x)=0
2-x è un punto di nond erivabilità
3- x è un estremo dell'intervallo
data ƒ:[a,b]-->R e x€[a,b], se x è un estremo locale allora:
1- x è un punto critico cioè f'(x)=0
2-x è un punto di nond erivabilità
3- x è un estremo dell'intervallo
si,per brevità non l'ho scritto!
cioè se x1 è un punto critico valuto l'hessiano nel punto x1 avendo:
se l'hessiano è definito positivo x1 punto di minimo relativo
se l'hessiano è definito negativo x1 punto di massimo relativo
se l'hessiano è indefinito x1 punto di sella
se l'hessiano è semidefinito ( positivo o negativo) che faccio????
cioè se x1 è un punto critico valuto l'hessiano nel punto x1 avendo:
se l'hessiano è definito positivo x1 punto di minimo relativo
se l'hessiano è definito negativo x1 punto di massimo relativo
se l'hessiano è indefinito x1 punto di sella
se l'hessiano è semidefinito ( positivo o negativo) che faccio????
Quando l'hessiano è semidefinito puoi provare a studiarti il segno della funzione! Se studiando il segno della funzione (ti faccio un esempio) ti trovi che la funzione è positiva nel primo e terzo quadrante, e hai come punto critico $(0, 0)$, allora puoi dedurre che il tuo è un punto di sella (dato che il punto si trova in mezzo), mentre se invece hai come punto $(1, 1)$ vedi che appartiene al primo quadrante e seguendo lo studio del segno della funzione puoi dedurre che è un punto di massimo locale!
Inoltre quando studi l'hessiano e hai come autovalori ad esempio $-1$ e $0$ puoi scartare l'ipotesi di un punto di minimo dato che hai un autovalore negativo! Lo studio del segno della funzione poi ti darà conferma!
Spero di aver detto giusto e che qualcuno confermi dato che ho l'esame tra pochi giorni!
Inoltre quando studi l'hessiano e hai come autovalori ad esempio $-1$ e $0$ puoi scartare l'ipotesi di un punto di minimo dato che hai un autovalore negativo! Lo studio del segno della funzione poi ti darà conferma!
Spero di aver detto giusto e che qualcuno confermi dato che ho l'esame tra pochi giorni!
Bisogna fare attenzione ai casi in cui l'Hessiano non risolve tutti i problemi.
Esempi:
$f(x,y) = x^2 - y^3$
$f(x,y) = x^4 + 5 y^3$
$f(x,y) = x^2 + y^6$
$f(x,y) = x^4 - y^4$
Esempi:
$f(x,y) = x^2 - y^3$
$f(x,y) = x^4 + 5 y^3$
$f(x,y) = x^2 + y^6$
$f(x,y) = x^4 - y^4$
"Co2":
si,per brevità non l'ho scritto!
cioè se x1 è un punto critico valuto l'hessiano nel punto x1 avendo:
se l'hessiano è definito positivo x1 punto di minimo relativo
se l'hessiano è definito negativo x1 punto di massimo relativo
se l'hessiano è indefinito x1 punto di sella
se l'hessiano è semidefinito ( positivo o negativo) che faccio????
un'altra possibilita' e':
se l'Hessiano e' semidefinito positivo (negativo) in un INTORNO del punto critico, allora hai un minimo (massimo).
[quote=franced]Bisogna fare attenzione ai casi in cui l'Hessiano non risolve tutti i problemi.
Esempi:
$f(x,y) = x^2 - y^3$
è proprio questo ciò di cui parlo!
nel caso sopra io faccio così:
$fx=2x fy=3y^2$
quindi l'unico punto critico è $(0,0)$
calcolo le derivate parziali seconde ottenendo:
$fxx=2 fyy=6y fxy=0$
in questo caso il determinante dell'hessiano è =0
quindi non so dire nulla!
quindi io farei così :
mi pongo sull'asse y
$f(0,y)=-y^3$ questo è >0 se e sole se $y<0$
quindi in un intorno dello 0 la funzione assume valori positivi e negativi quindi (0,0) è un punto di sella.
ma il problema si pone se nn riuscissi a dimostrare che il punto è di sella quindi dovessi dimostrare che è di max o di minimo.generalmente anche io faccio come detto da "clockover" ma non sempre ci riesco!
e quindi come fare??
Esempi:
$f(x,y) = x^2 - y^3$
è proprio questo ciò di cui parlo!
nel caso sopra io faccio così:
$fx=2x fy=3y^2$
quindi l'unico punto critico è $(0,0)$
calcolo le derivate parziali seconde ottenendo:
$fxx=2 fyy=6y fxy=0$
in questo caso il determinante dell'hessiano è =0
quindi non so dire nulla!
quindi io farei così :
mi pongo sull'asse y
$f(0,y)=-y^3$ questo è >0 se e sole se $y<0$
quindi in un intorno dello 0 la funzione assume valori positivi e negativi quindi (0,0) è un punto di sella.
ma il problema si pone se nn riuscissi a dimostrare che il punto è di sella quindi dovessi dimostrare che è di max o di minimo.generalmente anche io faccio come detto da "clockover" ma non sempre ci riesco!
e quindi come fare??
"Co2":[/quote]
[quote="franced"]Bisogna fare attenzione ai casi in cui l'Hessiano non risolve tutti i problemi.
Esempi:
$f(x,y) = x^2 - y^3$
è proprio questo ciò di cui parlo!
nel caso sopra io faccio così:
$fx=2x fy=3y^2$
quindi l'unico punto critico è $(0,0)$
calcolo le derivate parziali seconde ottenendo:
$fxx=2 fyy=6y fxy=0$
in questo caso il determinante dell'hessiano è =0
quindi non so dire nulla!
quindi io farei così :
mi pongo sull'asse y
$f(0,y)=-y^3$ questo è >0 se e sole se $y<0$
quindi in un intorno dello 0 la funzione assume valori positivi e negativi quindi (0,0) è un punto di sella.
ma il problema si pone se nn riuscissi a dimostrare che il punto è di sella quindi dovessi dimostrare che è di max o di minimo.generalmente anche io faccio come detto da "clockover" ma non sempre ci riesco!
e quindi come fare??
è un esercizio interessante vorrei cimentarmi
le dev parziali sono:
$f_x = 2x = 0$
$f_y = -3x^2 = 0$
l'hessian odovrebbe essere questo.
$H(x,y) = ((2,0),(-6x,0))$
il suo det è nullo.
ho provato il metodo degli autovalori (che nel libro di analisi non mi pare di aver visto, ma solo sui commenti di altri nel forum, quindi prendetelo con le pinze) ottengo:
$H(x,y) = ((2-t,0),(-6x,0-t))$
$t=0$ e $t=2$
quindi nn posso ancora avere qualche informazione, e cioè dovrei pensare a vedere lo studio del segno della funzione.
$f(x,y)-f(0,0)>0$
va bene tale condizione?
up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo