Massimi e minimi di funzione vincolata
Salve, devo trovare i massimi e i minimi assoluti di $x^4+4y^6$, sotto la condizione che gli $(x,y)$ varino sulla circonferenza $x^2+y^2=1$.
Il massimo della funzione mi viene 4, come al libro, mentre il minimo 4/9 (al libro invece 0). Ho trovato i punti critici attraverso il metodo dei moltiplicatori, e le soluzioni del sistema che bisogna risolvere sono corrette (ho visto che soddisfano tutte le tre equazioni). Dunque non credo di aver fatto errori di calcolo. Magari se uno ha la pazienza di provare a fare l'esercizio e vedere cosa gli esce!
Grazie!
Il massimo della funzione mi viene 4, come al libro, mentre il minimo 4/9 (al libro invece 0). Ho trovato i punti critici attraverso il metodo dei moltiplicatori, e le soluzioni del sistema che bisogna risolvere sono corrette (ho visto che soddisfano tutte le tre equazioni). Dunque non credo di aver fatto errori di calcolo. Magari se uno ha la pazienza di provare a fare l'esercizio e vedere cosa gli esce!
Grazie!
Risposte
Scusa Lis... ma la nostra funzione è definita nell'origine, no? E lì vale 0 che mi sembra più piccolo di $4/9$ e conti non ne ho fatti.
Io odio i moltiplicatori di Lagrange, per cui facciamolo in questa maniera: poiché i punti appartengono alla circonferenza allora $x=\cos t,\ y=\sin t,\ t\in[0,2\pi)$ è una corretta parametrizzazione e si ha per la funzione originale
$F(t)=\cos^4 t+4\sin^6 t$
la cui derivata prima risulta
$F'(t)=-4\sin t\cos^3 t+24\cos t\sin^5 t=4\cos t\sin t(6\sin^4 t-\cos^2 t)$
Risolvendo la disequazione $F'(t)\ge 0$ si trovano le soluzioni (ometto i calcoli)
$\alpha\le t\le \pi/2,\ \pi-\alpha\le t\le \pi,\ \pi+\alpha\le t\le {3\pi}/2,\ 2\pi-\alpha\le 2\pi$
dove $\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)=-\sin(\pi+\alpha)=-\sin(2\pi-\alpha)=1/\sqrt{3}$.
A questo punto i massimi si hanno per $t\in\{0,\ \pi/2,\ \pi,\ {3\pi}/2\}$ mentre i minimi in tutti i punti dipendenti da
$\alpha$. Tuttavia alcuni sono massimi assoluti e altri relativi.
I punti di massimo assoluto (basta andare a sostituire) sono $(0,\pm 1)$ (corrispondenti a $t=\pi/2,\ t={3\pi}/2$) dove la funzione vale $f(0,\pm 1)=4$.
I punti di minimo assoluto sono invece coincidenti con tutti i punti $t\in{\alpha,\ \pi-\alpha,\ \pi+\alpha,\ 2\pi-\alpha\}$ e in essi la funzione vale $F(\alpha)=4/9+4/{27}={16}/{27}$
Ora, mi viene una domanda: la tua funzione è sempre positiva, pertanto il valore minimo zero lo si può assumere solo nel punto $(0,0)$ che però non si trova sulla circonferenza ma al suo interno. Per cui mi chiedo se tu dovessi risolvere il problema come lo hai scritto, oppure in questa forma:
Determinare i massimi e minimi assoluti di $f$ con la condizione che i punti si trovino all'interno della circonferenza (compresa di bordo) di equazione $x^2+y^2\le 1$.
$F(t)=\cos^4 t+4\sin^6 t$
la cui derivata prima risulta
$F'(t)=-4\sin t\cos^3 t+24\cos t\sin^5 t=4\cos t\sin t(6\sin^4 t-\cos^2 t)$
Risolvendo la disequazione $F'(t)\ge 0$ si trovano le soluzioni (ometto i calcoli)
$\alpha\le t\le \pi/2,\ \pi-\alpha\le t\le \pi,\ \pi+\alpha\le t\le {3\pi}/2,\ 2\pi-\alpha\le 2\pi$
dove $\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)=-\sin(\pi+\alpha)=-\sin(2\pi-\alpha)=1/\sqrt{3}$.
A questo punto i massimi si hanno per $t\in\{0,\ \pi/2,\ \pi,\ {3\pi}/2\}$ mentre i minimi in tutti i punti dipendenti da
$\alpha$. Tuttavia alcuni sono massimi assoluti e altri relativi.
I punti di massimo assoluto (basta andare a sostituire) sono $(0,\pm 1)$ (corrispondenti a $t=\pi/2,\ t={3\pi}/2$) dove la funzione vale $f(0,\pm 1)=4$.
I punti di minimo assoluto sono invece coincidenti con tutti i punti $t\in{\alpha,\ \pi-\alpha,\ \pi+\alpha,\ 2\pi-\alpha\}$ e in essi la funzione vale $F(\alpha)=4/9+4/{27}={16}/{27}$
Ora, mi viene una domanda: la tua funzione è sempre positiva, pertanto il valore minimo zero lo si può assumere solo nel punto $(0,0)$ che però non si trova sulla circonferenza ma al suo interno. Per cui mi chiedo se tu dovessi risolvere il problema come lo hai scritto, oppure in questa forma:
Determinare i massimi e minimi assoluti di $f$ con la condizione che i punti si trovino all'interno della circonferenza (compresa di bordo) di equazione $x^2+y^2\le 1$.
[quote=lisdap]Salve, devo trovare i massimi e i minimi assoluti di $x^4+4y^6$, sotto la condizione che gli $(x,y)$ varino sulla circonferenza $x^2+y^2=1$.
[quote]
Uh, sulla circonferenza e non nel cerchio! Scusa ho letto affrettatamente.
[quote]
Uh, sulla circonferenza e non nel cerchio! Scusa ho letto affrettatamente.
Ciao, ho sbagliato a leggere il testo. Infatti, come giustamente detto da ciampax, gli x y sono vincolati a variare non sulla circonferenza, ma nella circonferenza. Mi scuso per il lavoro inutile che vi ho fatto fare. Tutto ok!
Nessun problema. Magari guardando il metodo che ho usato hai visto una cosa "nuova": tutto fa comodo! 
Ok, non ho capito una cosa però: perché l'intervallo in cui varia t non è $[0,2pi]$ ma $[0,2pi)$?
Pensa alla periodicità...
provo a spiegarla come l'ho capita io...
Prendiamo un foglio di carta e tracciamo una semiretta, prendiamo il compasso e puntiamolo nell'origine della semiretta, cominciamo a tracciare una circonferenza il cui primo punto appartiene alla semiretta (polo) tracciata ($theta=0$), gli altri punti che via via tracciamo corrispondono ad angoli maggiori ($theta=pi/4$, siamo a un ottavo di circonferenza, $theta=pi/2$, un quarto di circonferenza, $theta=pi$ mezza circonferenza...) poi mi avvicino sempre di più al punto da dove ho iniziato, quello $theta=0$... ora se $theta=2pi$ mi ritroverei con lo stesso punto che corrisponde a due angoli diversi, allora dico che per finire di disegnare la circonferenza mi basta arrivare un niente prima di $2pi$.
Prendiamo un foglio di carta e tracciamo una semiretta, prendiamo il compasso e puntiamolo nell'origine della semiretta, cominciamo a tracciare una circonferenza il cui primo punto appartiene alla semiretta (polo) tracciata ($theta=0$), gli altri punti che via via tracciamo corrispondono ad angoli maggiori ($theta=pi/4$, siamo a un ottavo di circonferenza, $theta=pi/2$, un quarto di circonferenza, $theta=pi$ mezza circonferenza...) poi mi avvicino sempre di più al punto da dove ho iniziato, quello $theta=0$... ora se $theta=2pi$ mi ritroverei con lo stesso punto che corrisponde a due angoli diversi, allora dico che per finire di disegnare la circonferenza mi basta arrivare un niente prima di $2pi$.
Secondo me questo esercizio si può risolvere in modo più semplice con un cambiamento di variabile:
\( \displaystyle t=y^2\)
\( \displaystyle x^2=1-t\) e \( 0 \leq t \leq 1\)
\( f(t)=(1-t)^2+4t^3=4t^3+t^2-2t+1\)
\( f'(t)=12t^2+2t-2\)
\( f'(t)=0 \Rightarrow \) \( t=\frac{1}{3}\)
\( \displaystyle f(0)=1\); \(\displaystyle f(1)=4\); \(\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{27}\)
Quindi abbiamo:
Massimo assoluto uguale a \( 4\) per \( \displaystyle t=1\), ossia per \( \displaystyle y=\pm 1, x=0\)
Minimo assoluto uguale a \( \displaystyle \frac{16}{27}\) per \( \displaystyle t=\frac{1}{3}\) ossia per \( \displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) e \( \displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)
\( \displaystyle t=y^2\)
\( \displaystyle x^2=1-t\) e \( 0 \leq t \leq 1\)
\( f(t)=(1-t)^2+4t^3=4t^3+t^2-2t+1\)
\( f'(t)=12t^2+2t-2\)
\( f'(t)=0 \Rightarrow \) \( t=\frac{1}{3}\)
\( \displaystyle f(0)=1\); \(\displaystyle f(1)=4\); \(\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{27}\)
Quindi abbiamo:
Massimo assoluto uguale a \( 4\) per \( \displaystyle t=1\), ossia per \( \displaystyle y=\pm 1, x=0\)
Minimo assoluto uguale a \( \displaystyle \frac{16}{27}\) per \( \displaystyle t=\frac{1}{3}\) ossia per \( \displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) e \( \displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)
Anche, in sostanza hai semplicemente parametrizzato in maniera differente rispetto a come ho fatto io. Ma sempre lì siamo.
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