Massimi e minimi di funzione con integrali

[Ingy]

Salve a tutti! La mia funzione è
$ f(x)= { ( int_(0)^(x) ln(1+1/(1+[t])dt, x>0 )),( int_(x)^(0)te^(-t^2)dt, x<= 0 ):} $
(non so perché mi mette il sistema con le due equazioni sulla stessa riga, fate finta che sia un sistema a due equazioni normale

Devo trovare i massimi e i minimi e determinare dove la funzione cresce e dove decresce. Da quel che ho capito, la derivata di questa funzione esiste se la derivata destra e sinistra in 0 esistono e coincidono, però a me viene la derivata sinistra in 0 uguale a 0, e la derivata destra in 0 uguale a ln(2).
La mia domanda è, posso studiare le derivate separatamente? cioè dire, per x maggiore di 0 la derivata è positiva quindi la funzione cresce?
Inoltre, sull'esercizio mi viene detto che la funzione è continua, ma come fa ad essere continua se le due derivate sinistra e destra sono diverse?
Grazie

[ostrogoto1]

Pensa a $ y=|x| $. Questa funzione e' continua anche in x=0 pur non essendo derivabile in x=0 dove le due derivate, sinistra e destra assumono due valori diversi: 1 e -1. Per x=0 c'e' un punto angoloso. Qualcosa di analogo capita con la funzione in questione.
In generale, una funzione puo' essere continua ma non derivabile e la non derivabilita' non implica che la funzione possa essere continua.
La continuita', in maniera grossolana, significa che si puo' disegnare il grafico della funzione senza staccare la matita dal foglio.

[Ingy]

Ok, quindi per vedere se una funzione è continua in un punto devo fare il limite destro e sinistro che devono coincidere, ma la derivata destra e sinistra in quel punto possono anche non coincidere?
E nel mio caso quindi studio separatamente le derivate della funzione a destra e sinistra per vedere dove cresce e decresce?

[ostrogoto1]

Studia separatamente le due funzioni integrali, quella per $ x>0 $ et $ x<=0 $.
Per x=0 sia la parte di funzione per x>0 che l'altra vale 0. [integrale da 0 a 0...]
Le derivate possono non coincidere in x=0, la funzione non sara' derivabile in tale punto...