Massimi e minimi di funzione a due variabili

[mimm8]

ciao, ho un grosso problema nel trovare i punti di massimo e minimo di questa funzione a due variabili:

[math]f(x,y)= 3x^2+y^2+3xy+1[/math]

su

[math]D=\begin{cases} x^2-y^2\ge1 \\
x^2+y^2\le 4 \end{cases} [/math]

quindi l'insieme su cui determinare i massimi e minimi di quella funzione è questo:


ho iniziato calcolando le derivate parziali imponendo l'annullamento del gradiente:

[math]f_x(x,y)= 6x+3y \\ f_y(x,y)= 2y+3x \\ \begin{cases} 6x+3y=0 \\
2y+3x=0 \end{cases} [/math]

dove l'unica soluzione del sistema è (0,0), cioè un punto al di fuori del dominio che quindi ho scartato. Ora dovrei passare sul bordo e qui nascono i problemi... :cry

[mc2]

Hai provato in coordinate polari? Almeno il bordo dovrebbe essere definito in modo semplice

[mimm8]

e no, non ci ho pensato. Come dovrei procedere?

[mc2]

Sostituisci nella funzione

[math]x=r\cos\theta[/math]

,

[math]y=r\sin\theta[/math]

.

Il bordo della circonferenza diventa r=4 e avrai una funzione da variare solo rispetto alla variabile theta.

Il bordo dell'iperbole e` piu` complicato, ma tu puoi studiarlo passando in coordinate iperboliche:

[math]x=r\cosh\theta[/math]

,

[math]y=r\sinh\theta[/math]

...

[mimm8]

allora sostituendo

[math]x=r\cos\theta[/math]

e

[math]y=r\sin\theta[/math]

nella funzione ottengo

[math]f(\theta)=2r^2\cos^2\theta + 3r^2\cos\theta\sin\theta+r^2+1[/math]

[mc2]

Bene, ora

[math]f'(\theta)\ge 0~~~\Longrightarrow ~~~ \tan(2\theta)\le \frac{3}{2}[/math]

quindi c'e` un massimo relativo per

[math]\theta=\theta_0[/math]

tale che

[math]\theta_0=\frac{1}{2}\mbox{arctan}\frac{3}{2}[/math]

Devi controllare che il punto di coordinate

[math](4\cos\theta_0,4\sin\theta_0)[/math]

sia dentro il dominio (ovviamente sara` sul bordo, ma deve stare entro il ramo di iperbole richiesto).

Per il ramo di iperbole fai la stessa cosa con le coordinate iperboliche

[mimm8]

scusa, lo so che è banale, ma come arrivo a

[math]\tan(2\theta)\le \frac{3}{2}[/math]

cioè devo derivare una volta la funzione

[math] f(\theta)[/math]

e poi?

[mc2]

La tua funzione sul bordo del dominio costituito dall'arco di circonferenza (r=4) e`:

[math]f(4,\theta)=32\cos^2\theta+48\cos\theta\sin\theta+17[/math]

Calcoli la derivata rispetto a theta (r e` costante sull'arco di circonferenza):

[math]\frac{df}{d\theta}(4,\theta)=-64\cos\theta\sin\theta+48(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=-32\sin 2\theta+48\cos 2\theta\ge 0\\
2\sin 2\theta \le 3\cos 2\theta[/math]

eccetera

[mimm8]

chiaro :thx