Massimi e minimi con valore assoluto

[Dalfi1]

Ragazzi sto avendo difficoltà con questo esercizio (e simili):

Calcolare gli eventuali valori di minimo e massimo della funzione:
$f(x,y)=|x^2+y^2-2|(x-y)$

Chi mi darebbe un input? Mi trovo in difficoltà solo con i casi in cui c'è il valore assoluto

[gugo82]

Idee tue?

[Dalfi1]

Avevo pensato di calcolarmi la derivata prima di $f$ rispetto a $x$ e quella rispetto a $y$ e considerare il caso in cui $x^2+y^2-2 != 0$ andando così a risolvere il sistema

$ { ( 2x(x-y)+x^2+y^2-2=0 ),( 2y(x-y)-x^2-y^2+2=0 ):} $

Mi trovo così diversi punti, alcuni dei quali non soddisfano la condizione imposta. Non so come comportarmi invece con i punti che la soddisfano

[gugo82]

"Dalfi":Calcolare gli eventuali valori di minimo e massimo della funzione:
$f(x,y)=|x^2+y^2-2|(x-y)$

Devi procedere allo stesso modo in cui procedevi con le funzioni di una variabile.

Innanzitutto, spezza i casi:
\[
f(x,y):=\begin{cases} (x^2+y^2-2)(x-y)&\text{, se } x^2+y^2-2\geq 0\\
(2-x^2-y^2)(x-y)&\text{, se } x^2+y^2-2< 0\; ;
\end{cases}
\]
poi tieni presente che le derivate parziali le puoi calcolare tranquillamente solo se \(x^2+y^2-2\neq 0\) ed hai:
\[
f_x (x,y):=\begin{cases} -2 + 3\ x^2 - 2\ x\ y + y^2 &\text{, se } x^2+y^2-2> 0\\
2- 3\ x^2 + 2\ x\ y - y^2 &\text{, se } x^2+y^2-2< 0
\end{cases}
\]
e lo stesso per \(f_y(x,y)\). A questo punto dovrai risolvere \(\nabla f(x,y)=(0,0)\) prima nella regione individuata da \(x^2+y^2-2>0\) e poi nella regione individuata da \(x^2+y^2-2< 0\), e controllare i risultati ottenuti.

Dopo aver fatto ciò, ti vai a guardare cosa succede nell'insieme in cui non sai calcolare le derivate, ossia sulla curva d'equazione \(x^2+y^2-2=0\).

[Dalfi1]

Grazie infinite